NeuralCF模型

NeuralCF模型将矩阵分解和逻辑回归思想进行结合，利用神经网络分别学习用户和物品的隐向量表示（Embedding），然后将矩阵分解中的内积互操作替换成神经网络计算，从而更好地从特征中学习到有用的信息。

原论文(https://arxiv.org/pdf/1708.05031)中还提出使用不同的隐向量表示和互操作可以提高模型的拟合能力，从而提高表现。混合模型如下图所示：

值得注意的是，该模型将推荐问题转化成CTR分类问题，所以使用了交叉熵损失函数作为模型的训练函数。

总结：

• NeuralCF模型利用深度学习的拟合能力，更好地学习隐向量表示，并且通过定义多种互操作解决了原特征分解方法欠拟合的问题。但也带来了过拟合和数据需求、训练复杂度等问题。
• NeuralCF模型也没有使用用户和物品的属性特征，存在信息浪费的问题。

附录：
附1：交叉熵损失函数推导

对于一个M分类问题，考虑到随机变量$Y$表示采样样本${\mathbf{x}}_i$属于某一类，如采样到${\mathbf{y}}_i=[0,0,\dots ,1(jth),\dots ,0]$, 其中${\mathbf{y}}_i[j]=1$表示样本${\mathbf{x}}_i$属于$j$类别。假设事件：样本${\mathbf{x}}_i$属于任意类别服从泊松分布，则采样到${\mathbf{y}}_i=[0,0,\dots ,1(jth),\dots ,0]$的概率为：

$$p_j\prod _{k=1,2,\dots ,M;k\ne j}(1-p_k)$$

对于所有的样本${\mathbf{x}}_i$，我们想通过神经网络估计样本${\mathbf{x}}_i$属于任意类别$j$的概率${\mathbf{p}}_i[j]$，即网络的输出为向量${\mathbf{p}}_i=f({\mathbf{x}}_i;\mathbf{\theta })$, 从而最大化采样到标签${\mathbf{y}}_i$的概率，即

$$\underset{\mathbf{\theta }}{\max }\sum _{i=1,\dots ,N}\prod _{k=1,2,\dots ,M}(1-{\mathbf{p}}_i[k]{)}^{1-{\mathbf{y}}_i[k]}{\mathbf{p}}_i[k{]}^{{\mathbf{y}}_i[k]}$$

通过负对数操作，将该目标函数转为最小化目标并避开乘项，

$$\underset{\mathbf{\theta }}{\min }-\sum _{i=1,\dots ,N}\sum _{k=1,2,\dots ,M}(1-{\mathbf{y}}_i[k])log(1-{\mathbf{p}}_i[k])+{\mathbf{y}}_i[k]log({\mathbf{p}}_i[k])$$

上面公式中，认为${\mathbf{x}}_i$属于各个类别的事件是独立，这不太符合多分类的含义，于是我们进一步引入softmax函数，从而让其他类别应该是某一类别的负类，

$$softmax(\mathbf{p})=[\frac{exp(\mathbf{p}[0])}{{\sum }_{j=1,\dots ,M}exp(\mathbf{p}[j])},\dots ,\frac{exp(\mathbf{p}[M])}{{\sum }_{j=1,\dots ,M}exp(\mathbf{p}[j])}]$$

此时，我们可以将损失函数改为仅考虑样本为某一类别的正类（不考虑其为负类）的概率,对于某一样本${\mathbf{x}}_i$,其交叉熵损失函数如下所示，

$$\underset{\mathbf{\theta }}{\min }-\sum _{k=1,2,\dots ,M}{\mathbf{y}}_i[k]log(softmax({\mathbf{p}}_i[k]))$$

当标签${\mathbf{y}}_i=[0,0,\dots ,1(jth),\dots ,0]$时，该损失函数对参数$\mathbf{\theta }$的梯度为,

$$\begin{gathered} -\frac{\partial log}{\partial softmax({\mathbf{p}}_i[k])}\frac{\partial softmax}{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \\ =-\frac{1}{softmax({\mathbf{p}}_i[k])}\frac{\partial softmax}{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \end{gathered}$$

当$j=k$时，

$$\begin{gathered} -\frac{1}{softmax({\mathbf{p}}_i[k])}\frac{\partial softmax}{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \\ =-\frac{1}{softmax({\mathbf{p}}_i[k])}(softmax({\mathbf{p}}_i[k])-softmax({\mathbf{p}}_i[k]{)}^2)\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \\ =(softmax({\mathbf{p}}_i[k])-1)\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \end{gathered}$$

否则，

$$\begin{gathered} -\frac{1}{softmax({\mathbf{p}}_i[k])}\frac{\partial softmax}{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \\ =-\frac{1}{softmax({\mathbf{p}}_i[k])}(-softmax({\mathbf{p}}_i[k]{)}^2)\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \\ =softmax({\mathbf{p}}_i[k])\frac{\partial {\mathbf{p}}_i[k]}{\partial \mathbf{\theta }} \end{gathered}$$