1. Lipschitz 连续
经常听到这个名词， Lipschitz 连续比普通连续更强，不仅要求函数连续，还要求函数的梯度小于一个正实数。
在单变量实数函数上的定义可以是：
- 对于定义域内任意两个 x 1 x_1 x1 and x 2 x_2 x2, 存在一个 K > 0 K>0 K>0, 满足
∣ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) ∣ ≤ K ∣ ( x 1 − x 2 ) ∣ |f(x_1)-f(x_2)|\leq K|(x_1-x_2)| ∣f(x1)−f(x2)∣≤K∣(x1−x2)∣
对于多变量函数，要求在任何一个变量上的梯度都小于等于 K K K.
2. 绝对连续
除了 Lipschitz 连续，还有绝对连续(absolute continuous, 不仅要求一致连续，还要求函数勒贝格可积分)，一致连续以及普通连续，这几个连续在集合上的包含关系是：
Lipschitz continuous ⊂ absolute continuous ⊂ uniform continuous ⊂ ordinary continuous \text{Lipschitz continuous}\subset\text{absolute continuous}\subset\text{uniform continuous}\subset\text{ordinary continuous} Lipschitz continuous⊂absolute continuous⊂uniform continuous⊂ordinary continuous
绝对连续的定义：
- 对于任意实数 ϵ > 0 \epsilon>0 ϵ>0 与定义域内任意不相交的子区间序列 ( x k , y k ) (x_k,y_k) (xk,yk)，总存在实数 δ > 0 \delta>0 δ>0，当 ∑ k ∣ x − y ∣ < δ \sum _k|x-y|<\delta ∑k∣x−y∣<δ 时，都有 ∑ k ∣ f ( x ) − f ( y ) ∣ < ϵ \sum _k |f(x)-f(y)|<\epsilon ∑k∣f(x)−f(y)∣<ϵ.
一致连续但不是绝对连续的一个函数： x / sin ( 1 / x ) x/\sin(1/x) x/sin(1/x)，它的图像是：
这个函数可以在定义域内找到不相交的子区间，它们的长度和小于某个常数，但是在所有子区间的绝对偏差和可以达到无穷大 （令
x
n
=
1
2
n
π
+
π
/
2
,
y
n
=
1
2
n
π
,
n
≥
1
x_n=\frac{1}{2n\pi+\pi/2}, y_n=\frac{1}{2n\pi}, n\geq 1
xn=2nπ+π/21,yn=2nπ1,n≥1）。
该函也不是勒贝格可积，因为：
∫ − ∞ ∞ ∣ x sin ( 1 / x ) ∣ = ∞ \int_{-\infty}^{\infty}\left|\frac{x}{\sin(1/x)}\right|=\infty ∫−∞∞ sin(1/x)x =∞
（对函数的绝对值求积分，不是无穷大，是存在勒贝格积分的条件）
