把夜熬成粥，然后喝了它。

——2024年7月1日

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书接上回：区间动态规划——最长回文子串（C++）-CSDN博客，大家有想到解决办法吗？

题目描述

        给定一个字符串s（s仅由数字和英文大小写字母组成，长度为1~1000），求s中最长的回文子序列长度。例如，s = “aferegga”，最长的回文子序列为“aerea”，其长度为5。

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题解思路

        区间动态规划

下面是个人的思路：

1. 定义dp数组

        定义 dp[i][j]表示 s[i...j] 中最长回文子序列长度。

2. 确定dp限制条件

注：len表示字符串长度

        ①对于任何 len == 1 的字符串，dp[i][j] = 1；

        ②对于任何 len == 2 的字符串，dp[i][j] = dp[i][j-1] + (s[i] == s[j])；

        ③对于任何 len  ≥  3 的字符串，有两种情况：

        如果 s[i] == s[j]，那么dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2；

        如果 s[i] != s[j]，那么dp[i][j] = max(dp[i+1][j]，dp[i][j-1])；

解释如下：

        第一种情况，如果字符串长度为1的话，那么它一定是回文子串，长度唯一；

        第二种情况，如果字符串长度为2，那它就有两种可能，要么这两个字符相等，要么不等，不管哪一种情况，这个字符串的回文子序列至少是大于等于1的（第一种情况），如果相等，无非是把这个相等的加上即可。

        第三种情况，字符串长度不小于3时，也有两种可能：
        如果 s[i] == s[j]，那么当前最长回文子序列长度就等于上一次的回文子序列长度加上2（两个相同的字符），也可以表示为dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2*(s[i] == s[j])；
        如果 s[i] != s[j]，那么当前最长回文子序列长度至少是在 s[i+1....j]和s[i....j-1]中取最大值，即dp[i][j] = max(dp[i+1][j]，dp[i][j-1])。

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推导过程

用矩阵推导如下：

 

代码展示

// 最长回文子序列长度
int getLongestPalind(string s){
    int size = s.size();
    vector<vector<int>> dp(size, vector<int> (size, 0));
    // 定义dp数组
    // dp[i][j]表示从i到j的最长子回文字符串长度
    for(int len = 1; len <= size; len++){
        for(int i = 0; i + len - 1 < size; i++){
            int j = i + len - 1;
            if(len == 1){
                dp[i][j] = 1;
            }
            else if(len == 2){
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + (s[i] == s[j]);
            }
            else{
                if(s[i] == s[j]){
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2 * (s[i] == s[j]);
                }
                else{
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
    }
    return dp[0][size-1];
}

运行结果

完整代码

// 区间动态规划
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>

using namespace std;

// 最长回文子序列长度
int getLongestPalind(string s){
    int size = s.size();
    vector<vector<int>> dp(size, vector<int> (size, 0));
    // 定义dp数组
    // dp[i][j]表示从i到j的最长子回文字符串长度
    for(int len = 1; len <= size; len++){
        for(int i = 0; i + len - 1 < size; i++){
            int j = i + len - 1;
            if(len == 1){
                dp[i][j] = 1;
            }
            else if(len == 2){
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + (s[i] == s[j]);
            }
            else{
                if(s[i] == s[j]){
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2 * (s[i] == s[j]);
                }
                else{
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
    }
    return dp[0][size-1];
}


int main(){
    string s;
    cout<<"请输入字符串s：";
    cin>>s;
    cout<<"最长回文子序列长度为"<<getLongestPalind(s)<<endl;
    return 0;
}