1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

提示：

• 1 <= stones.length <= 30
• 1 <= stones[i] <= 100

思路:本题和Day42:动态规划 LeedCode 01背包 416. 分割等和子集-CSDN博客

中的分割等和子集类似,其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了

动态规划:

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i]:容量为i的背包,能背的最大重量

相对于 01背包，本题中，石头的重量是 stones[i]，石头的价值也是 stones[i] 

2.确定递推公式

dp[j] = max(dp[j], dp[j - stones[i]] + stones[i]);

3.dp数组如何初始化

dp[j]都初始化为0

4.确定遍历顺序

如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历

最后dp[target]里是容量为target的背包所能背的最大重量。

5.举例推导

class Solution {
    public int lastStoneWeightII(int[] stones) {
   int length=stones.length;
   int target=0;
   int sums=0;
   for(int i=0;i<stones.length;i++){
    sums+=stones[i];
   }
   target=sums/2;
   int[] dp=new int[target+1];
   for(int i=0;i<length;i++){
    for(int j=target;j>=0;j--){
        if(j>=stones[i]){
            dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i]);
        }
    }
   }
   return sums-dp[target]-dp[target];
    }
}

注意:在计算target的时候，target = sum / 2 因为是向下取整，所以sum - dp[target] 一定是大于等于dp[target]的。

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494. 目标和

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

思路:

假设加法的总和为x，那么减法对应的总和就是sum - x。

所以我们要求的是 x - (sum - x) = target

x = (target + sum) / 2

此时问题就转化为，装满容量为x的背包，有几种方法。

由于数组中的数都是整数,所以加法总和x一定是整数,如果(target + sum) / 2不是整数,意味着无解,return 0

与此同时,如果target的绝对值已经大于sum，那么也是没有方案的。

动态规划:

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示：用[0,i]的数,填满j（包括j）这么大容积的包，有dp[i][j]种方法

2.确定递推公式

得到nums[i]，凑成dp[i][j]就有dp[i-1][j-nums[i]] 种方法。

没有用到nums[i],凑出凑成dp[i][j]就有dp[i-1][j]种方法。

故:dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-nums[i]];

3.dp数组如何初始化

nums[i]!=0时:在初始化的时候dp[i][0]一定要初始化为1,凑出和为0的有1种方法

nums[i]==0时:在初始化的时候dp[i][0]一定要初始化为1,凑出和为0的有2种方法

4.确定遍历顺序

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-nums[i]];由递推公式可知从上往下遍历

5.举例推导

代码参考:

二维数组

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
    int sums=0;
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        sums+=nums[i];
    }
    int x=(sums+target)/2;
    if((sums+target)%2==1)return 0;
    if(Math.abs(target)>sums) return 0;
    int[][] dp=new int[nums.length][x+1];
    //初始化
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        dp[i][0]=1;
    }
     for(int i=0;i<=x;i++){
        if(i==nums[0]){
           dp[0][i]+=1;
        }
     }
    for(int i=1;i<nums.length;i++){
        for(int j=0;j<=x;j++){
          if(j>=nums[i]){
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-nums[i]];}
            else{
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    return dp[nums.length-1][x];
    }
}

一维数组:

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
    int sums=0;
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        sums+=nums[i];
    }
    int x=(sums+target)/2;
    if((sums+target)%2==1)return 0;
    if(Math.abs(target)>sums) return 0;
    int[] dp=new int[x+1];
    //初始化
     dp[0]=1;
    for(int i=0;i<nums.length;i++){
        for(int j=x;j>=nums[i];j--){
            dp[j]=dp[j]+dp[j-nums[i]];  
        }
    }
    return dp[x];
    }
}