Day28:回溯法 491.递增子序列 46.全排列 47.全排列 II 332.重新安排行程 51. N皇后 37. 解数独

491. 非递减子序列

给你一个整数数组 nums ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。

数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

示例 1：

输入：nums = [4,6,7,7]
输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]

示例 2：

输入：nums = [4,4,3,2,1]
输出：[[4,4]]

提示：

  • 1 <= nums.length <= 15
  • -100 <= nums[i] <= 100

思路:

本题和求子集相似,要求取有序子集,但子集不能重复,所以就不能将原数组排序后取子集实现去重,本题也是同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了

递归三部曲:

1.确定返回值和参数的类型

定义两个全局变量

List<List<Integer>> result;记录所有结点
    List<Integer> node;记录当前结点

返回值为void,在递归过程中更高全局变量

2.确定递归结束条件

本题其实类似求子集问题，也是要遍历树形结构找每一个节点,但本题收集结果有所不同，题目要求递增子序列大小至少为2

  if(startIndex>nums.length)
        return;
这行代码可以省略,因为startIndex在递归过程中会加1,不会无限递归下去(进不去for循环) 

3.确定单层逻辑

 同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了,我们使用set对本层元素去重,注意set只负责本层,所以进入下一层需要清空

将个数大于1的node加入到result

对本层元素去重

递归找到所有node

代码参考:
 

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new  LinkedList<>();
    List<Integer> path = new LinkedList<>(); 
   
    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        backTracking(nums,0);
        return result;
    }
    public void backTracking(int[] nums,int startIndex){
                   if(path.size()>1)
            result.add(new LinkedList<>(path));
        if(startIndex == nums.length){
            return;
        }
         Set<Integer> hashSet= new HashSet<>();
        for(int i=startIndex;i<nums.length;i++){
         if(!path.isEmpty()&&nums[i]<path.get(path.size()-1)||hashSet.contains(nums[i])){
            continue;}     
            hashSet.add(nums[i]);
            path.add(nums[i]);
       
            backTracking(nums,i+1);
            path.removeLast();
         
        }
        
    }

}

46. 全排列

给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2：

输入：nums = [0,1]
输出：[[0,1],[1,0]]

示例 3：

输入：nums = [1]
输出：[[1]]

提示：

  • 1 <= nums.length <= 6
  • -10 <= nums[i] <= 10
  • nums 中的所有整数 互不相同

思路:

思路:用回溯法收集叶节点,用uesd数组记录路径上哪些数字已经使用,实现路径去重,这里就不是树层去重了

递归三部曲:

1.确定返回值和参数的类型

定义两个全局变量List<List<Integer>> result=new ArrayList<>();记录结果集
    List<Integer>path=new LinkedList<>();记录递归路径,也就是全排列的过程

返回值为void,传入需要排列 的数组nums,和数组used(记录递归过程中哪些数被用掉了,实现路径去重)

2.确定递归结束条件

  if(nums.length==path.size()){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

nums.length==path.size()时到达叶节点,也就是找到一组全排列了

3.确定单层逻辑

将路径上没用过的数加入路径

代码:

class Solution {
     List<List<Integer>>  result = new LinkedList<>();
     List<Integer> path = new LinkedList<>();

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
       boolean[] used = new boolean[nums.length];
         backTracking(nums,used);
   return result;
    }
    public void backTracking(int[] nums,boolean[] used){
        if(path.size()==nums.length){
            result.add(new LinkedList(path));
        }
     for(int i=0;i<nums.length;i++){
        if(used[i]){
            continue;
        }
        path.add(nums[i]);
        used[i]=true;
        backTracking(nums,used);
        used[i]=false;
        path.removeLast();
     }

    }
}

47. 全排列 II

给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。

示例 1：

输入：nums = [1,1,2]
输出：
[[1,1,2],
 [1,2,1],
 [2,1,1]]

示例 2：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

提示：

  • 1 <= nums.length <= 8
  • -10 <= nums[i] <= 10

思路:本题与上一题区别在于,序列nums包含重复数字, 本题该如何去重 呢?

先将数组排序,让相同的数字排在一起,实现树层去重,利用used数组实现路径去重

i>0&&nums[i-1]==nums[i]&&!used[i-1]:说明在同一层使用了,注意这里的used[i-1]必须为false,只有这样两个相同的数才会出现在同一层

used[i]:说明该数在路径中已经使用了,不能再使用了

代码:

 if(i>0&&nums[i-1]==nums[i]&&!used[i-1]||used[i]){
                continue;
            }

代码参考:

class Solution {
    List<List<Integer>> result= new LinkedList<>();
    List<Integer> path= new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        boolean[] used = new boolean[nums.length];
        Arrays.sort(nums);
   backTracking(nums,used);
   return result;
    }
    public void backTracking(int[] nums,boolean[] used){
        if(nums.length==path.size()){
            result.add(new LinkedList<>(path));
            return;
        }
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            if(i>0&&nums[i-1]==nums[i]&&!used[i-1]||used[i]){
                continue;
            }
            used[i]=true;
            path.add(nums[i]);
            backTracking(nums,used);
            used[i]=false;
            path.removeLast();
        }
    }
}

332. 重新安排行程

给你一份航线列表 tickets ，其中 tickets[i] = [fromi, toi] 表示飞机出发和降落的机场地点。请你对该行程进行重新规划排序。

所有这些机票都属于一个从 JFK（肯尼迪国际机场）出发的先生，所以该行程必须从 JFK 开始。如果存在多种有效的行程，请你按字典排序返回最小的行程组合。

  • 例如，行程 ["JFK", "LGA"] 与 ["JFK", "LGB"] 相比就更小，排序更靠前。

假定所有机票至少存在一种合理的行程。且所有的机票 必须都用一次 且 只能用一次。

示例 1：

输入：tickets = [["MUC","LHR"],["JFK","MUC"],["SFO","SJC"],["LHR","SFO"]]
输出：["JFK","MUC","LHR","SFO","SJC"]

示例 2：

输入：tickets = [["JFK","SFO"],["JFK","ATL"],["SFO","ATL"],["ATL","JFK"],["ATL","SFO"]]
输出：["JFK","ATL","JFK","SFO","ATL","SFO"]
解释：另一种有效的行程是 ["JFK","SFO","ATL","JFK","ATL","SFO"] ，但是它字典排序更大更靠后。

提示：

  • 1 <= tickets.length <= 300
  • tickets[i].length == 2
  • fromi.length == 3
  • toi.length == 3
  • fromi 和 toi 由大写英文字母组成
  • fromi != toi

思路:

本题用回溯法,遍历所有的票的使用顺序,由于所有机票至少存在一种合理的行程,我们先将票按照起始位置的开头字母小的排序,递归过程中找到其中一种合理行程就返回,该行程一定是字典排序更小的行程。

递归三部曲:

1.确定返回值和参数的类型

使用全局变量保存结果 ,参数传入所有的票(List<List<String>> tickets),和每张票的使用情况(used[])

由于只取第一个结果,所有返回值类型设置为boolean类型,当找到第一个结果时,就返回true

 List<String> path=new LinkedList<>();
    List<String> result;
boolean travel(List<List<String>> tickets,boolean used[])
2.确定递归结束条件

当记录路径的数组的长度==票的长度+1,说明合理用完了所有票,找到了合理旅游路径,结束递归

   if(path.size()==tickets.size()+1){
            result=new ArrayList<>(path);
            return true;
        }
3.单层递归逻辑

递归找到所有方案

 for(int i=0;i<tickets.size();i++){
            if(!used[i]&&path.get(path.size()-1).equals(tickets.get(i).get(0))){
              path.add(tickets.get(i).get(1));
              used[i]=true;
              //找到第一个方案,结束递归
            if( travel(tickets,used))return true;
              path.remove(path.size()-1);
              used[i]=false;
            }
 
        }
        return false;
总体代码:

class Solution {
    List<String> path=new LinkedList<>();
    List<String> result;
    public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
       boolean[] used=new boolean[tickets.size()];
       //给票排序
       Collections.sort(tickets,(a,b)->a.get(1).compareTo(b.get(1)));
       path.add("JFK");
       travel(tickets,used);
       return result;
    }
    boolean travel(List<List<String>> tickets,boolean used[]){
        if(path.size()==tickets.size()+1){
            result=new ArrayList<>(path);
            return true;
        }
        for(int i=0;i<tickets.size();i++){
            if(!used[i]&&path.get(path.size()-1).equals(tickets.get(i).get(0))){
              path.add(tickets.get(i).get(1));
              used[i]=true;
              //找到第一个方案,结束递归
            if( travel(tickets,used))return true;
              path.remove(path.size()-1);
              used[i]=false;
            }
 
        }
        return false;
    }
}


使用本方法因为排序的原因会出现超时 

改进方法:

用Map<出发机场, Map<到达机场, 航班次数>> map来记录车票,Map<到达机场, 航班次数>为升序TreeMap

class Solution {
    private Deque<String> path = new LinkedList<>();//双端队列,用来存储飞行路径
    private Map<String,Map<String,Integer>> map = new HashMap<>();//hashmap存储一个其他到其他地方的票数
    public List<String> findItinerary(List<List<String>> tickets) {
    for(int i=0;i<tickets.size();i++){
        //统计每个出发地到目的地的票数
        if(map.containsKey(tickets.get(i).get(0))){
            Map<String,Integer> temp= map.get(tickets.get(i).get(0));//获取目的地们与其对应的票数
            temp.put(tickets.get(i).get(1),temp.getOrDefault(tickets.get(i).get(1),0)+1);
            map.put(tickets.get(i).get(0),temp);
        }else{
            Map temp = new TreeMap<>();
            temp.put(tickets.get(i).get(1),1);
          map.put(tickets.get(i).get(0),temp);
        }
    }
  path.add("JFK");
       backTracking(tickets.size());
     return new LinkedList( path);
    }

    public boolean backTracking(int tickets){
       if(path.size()==tickets+1){
        return true;
       }
      String start =  path.getLast();
      //取出同一出发地点的各个机票的目的地和对应的票数
      if(map.get(start)!=null)
       for(Map.Entry<String, Integer> target : map.get(start).entrySet()){
         int  times= target.getValue();
         if(times>0){
            path.add(target.getKey());
            target.setValue(times-1);
           if( backTracking(tickets)){
                    return true;
           }
           path.removeLast();
           target.setValue(times);
         }
       }
       return false;
    }
}

51. N 皇后

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

  • 1 <= n <= 9

皇后们的约束条件：

  1. 不能同行
  2. 不能同列
  3. 不能同斜线

 思路:用回溯法,遍历出所有可以放置的可能性

递归三部曲:

1.确定返回值和参数类型

要把所有能摆放的位置都得出,用全局变量public List<List<String>> result=new ArrayList<>();记录所有合理的棋盘,返回值为void,传入棋盘(char[][] chessboard),要放置的皇后在哪一行(int row),棋盘的宽度(n);

 public void backTracking(int n,int row,char[][] chessboard)

2.确定递归结束条件

当row==n时,说明所有行都放置了皇后,找到了一种合理放法,将该棋盘存入result中,递归结束

 if(row==n){
           List<String> temp= array2List(chessboard);
           result.add(temp);
           return;
       }

3.确定单层递归逻辑

遍历该行的每一个位置并检查其合理性,如果合理,进入下一行棋盘的摆放

for(int i=0;i<n;i++){
        //如果当前位置合法,就递归放下一行
        if(isVaild(chessboard,row,i,n)){
        chessboard[row][i]='Q';
        backTracking(n,row+1,chessboard);
        chessboard[row][i]='.';
        }
       }

class Solution {
    List<List<String>> result = new LinkedList<>();
    List<String> board = new LinkedList<>();
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
          char[][] chessboard = new char[n][n];
         for(char[] c:chessboard){
        Arrays.fill(c,'.');
         }
         backTracking(n,0,chessboard);
         return result;


    }

    public void backTracking(int n,int row,char[][] chessboard){
        if(row==chessboard.length){
             List<String> temp= array2List(chessboard);
           result.add(temp);
            return;
        }
        for(int i=0;i<chessboard.length;i++){
            if(isVaild(n,chessboard,row,i)){
                chessboard[row][i]='Q';
                backTracking(n,row+1,chessboard);
                chessboard[row][i]='.';
            }
        }

    }
      //将数组转为list
    List<String> array2List(char[][] chessboard){
        List<String> result=new ArrayList<>();
        for(int i=0;i<chessboard.length;i++){
             StringBuilder temp=new StringBuilder();
        for(int j=0;j<chessboard[0].length;j++){
           temp.append(chessboard[i][j]);
        }
        result.add(temp.toString());
        }
        return result;
    }


    public boolean isVaild(int n,char[][] chessboard,int row,int col){
        //检查列
        for(int i=row;i>=0;i--){
            if(chessboard[i][col]=='Q'){
                return false;
            }
        }
        //45°角
        for(int i=row-1,j=col+1;i>=0&&j<n;i--,j++){
            
            if(chessboard[i][j]=='Q'){
                return false;
            }
        }
        //135°
        for(int i=row-1,j=col-1;i>=0&&j>=0;i--,j--){
              if(chessboard[i][j]=='Q'){
                return false;
            }
        }
     return true;
    }
}

37. 解数独

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需 遵循如下规则：

  1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
  2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
  3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

数独部分空格内已填入了数字，空白格用 '.' 表示。

示例 1：

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],[".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示：

  • board.length == 9
  • board[i].length == 9
  • board[i][j] 是一位数字或者 '.'
  • 题目数据 保证 输入数独仅有一个解

37. 解数独

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编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。

数独的解法需 遵循如下规则：

  1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
  2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
  3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

数独部分空格内已填入了数字，空白格用 '.' 表示。

示例 1：

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],[".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]
解释：输入的数独如上图所示，唯一有效的解决方案如下所示：

提示：

  • board.length == 9
  • board[i].length == 9
  • board[i][j] 是一位数字或者 '.'
  • 题目数据 保证 输入数独仅有一个解

思路:n皇后问题一行只需要放一个皇后,本题一行可能填好几个数,所以本题是二维递归 ,

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

判断棋盘是否合法
判断棋盘是否合法有如下三个维度：

同行是否重复
同列是否重复
9宫格里是否重复

递归三部曲:

1.确定返回值和参数类型

只有一个解,只需要找一个解,返回类型为boolean,当回溯返回true时,结束当前递归

 Boolean backTracking(char[][] board)

当有多个解时,返回类型为void,需要找遍所有可能

传入棋盘char[][] board

2.确定递归结束条件

本题递归不用终止条件，解数独是要遍历整个树形结构寻找可能的叶子节点就立刻返回。

递归的下一层的棋盘一定比上一层的棋盘多一个数，等数填满了棋盘自然就终止（填满当然好了，说明找到结果了），所以不需要终止条件！

3.确定当层逻辑

一个for循环遍历棋盘的行，一个for循环遍历棋盘的列，一行一列确定下来之后，递归遍历这个位置放9个数字的可能性！

class Solution {
    public void solveSudoku(char[][] board) {
    backTracking(board);
    }
public Boolean backTracking(char[][] board){
    for(int i=0;i<9;i++){
    for(int j=0;j<9;j++){
        if(board[i][j]!='.')
        continue;
       for(char c='1';c<='9';c++){
         if(isVaild(i,j,c,board)){
           board[i][j]=c;
        if( backTracking(board)) return true;;
           board[i][j]='.';
         }
       }
       return false;
    }
    }
    return true;
}


      Boolean isVaild(int row,int col,char val,char[][] board){
        //同行是否重复
        for(int i=0;i<9;i++){
            if(board[row][i]==val){
                return false;
            }
        }
        //同列是否重复
        for(int i=0;i<9;i++){
            if(board[i][col]==val){
                return false;
            }
        }
        //9宫格内是否重复
        int startRow=row/3*3;
        int startCol=col/3*3;
        for(int i=startRow;i<startRow+3;i++){
            for(int j=startCol;j<startCol+3;j++){
        if(board[i][j]==val){
            return false;
              }
            }
        }
      return true;
    }
}

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