数学建模系列（2/4）：建模入门

引言

1. 如何开始数学建模

1.1 选择和描述问题

1.2 提出基本假设

1.3 确定模型类型

2. 建模的数学基础

2.1 线性代数基础

矩阵运算

线性方程组的解法

2.2 微分方程基础

常微分方程

偏微分方程

2.3 统计与概率基础

描述性统计

概率基础

3. 模型的求解方法

3.1 解析法

3.2 数值法

3.3 近似法

4. 案例分析与实战演练

案例：交通流模型

4.1 问题识别和界定

4.2 提出基本假设

4.3 模型的建立

4.4 模型的求解与实现

Matlab求解示例

4.5 结果验证与分析

4.6 模型优化与改进

结语

引言

在上一篇文章中，我们概述了数学建模的基本概念和重要性。本篇文章将详细讲解从零开始进行数学建模的过程，涵盖问题选择、假设提出、模型建立和求解的各个环节。通过具体的案例分析和代码示例，帮助读者掌握基础的建模技巧，迈出数学建模的第一步。

1. 如何开始数学建模

1.1 选择和描述问题

选择一个适合建模的问题至关重要。对于初学者，选择一个相对简单、明确且易于理解的问题有助于更快入门。例如，可以选择研究城市交通流量、环境污染扩散或股票价格波动等问题。

示例问题：研究城市某路口的交通流量，并优化信号灯的设置以减少等待时间。

1.2 提出基本假设

为了简化实际问题并使之可以数学化，需要提出一些合理的假设。这些假设应基于对问题基本特性的了解。

示例假设：

假设车辆按照一定速度匀速行驶。
车流量在观察期间恒定。
车辆遵守交通信号，不发生交通事故。

1.3 确定模型类型

选择合适的模型类型是建模的重要环节。常见的模型类型包括线性模型、非线性模型、动态模型和静态模型等。每种模型类型都有其适用范围和特点。

示例模型：

使用排队理论模型来描述车辆在路口的等待时间。
使用微分方程模型来描述车流密度和速度的变化。

2. 建模的数学基础

2.1 线性代数基础

矩阵运算

矩阵是描述线性系统的基本工具。常见的矩阵运算包括加法、乘法、转置和求逆等。

示例：矩阵乘法

线性方程组的解法

线性方程组是最常见的建模工具之一，常用的求解方法包括高斯消元法和LU分解法等。

示例：求解线性方程组

使用Matlab代码求解：

A = [2, 1; 1, 3];
b = [5; 6];
x = A \ b;

2.2 微分方程基础

常微分方程

常微分方程用于描述动态系统的变化，如人口增长、传染病传播等。

示例：人口增长模型

偏微分方程

偏微分方程用于描述空间和时间上变化的系统，如热传导、流体流动等。

示例：热传导方程

2.3 统计与概率基础

描述性统计

描述性统计用于总结和描述数据的特征，包括均值、中位数、方差和标准差等。

示例：计算均值和方差

概率基础

概率用于描述随机事件发生的可能性，包括常见的概率分布如正态分布、泊松分布等。

示例：正态分布

3. 模型的求解方法

3.1 解析法

解析法是指通过数学推导直接得到模型的解。常见的解析方法包括分离变量法、积分法等。

示例：分离变量法求解微分方程

3.2 数值法

数值法用于求解解析法无法解决的复杂模型。常见的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法等。

示例：欧拉法求解微分方程

3.3 近似法

近似法用于简化复杂问题，使其更易于求解。常见的近似方法包括泰勒级数展开、渐近展开等。

示例：一阶泰勒展开

4. 案例分析与实战演练

案例：交通流模型

4.1 问题识别和界定

研究城市某交通路口的车流情况，目标是优化交通信号灯设置以减少车辆的等待时间。

4.2 提出基本假设

车辆按照一定速度匀速行驶。
车流量在观察期间恒定。
车辆遵守交通信号，不发生交通事故。

4.3 模型的建立

使用排队理论模型描述车辆在路口的等待时间：

4.4 模型的求解与实现

Matlab求解示例

% Matlab代码示例
lambda = 10; % 车流量
T = 30; % 信号灯时长
L = (lambda^2 * T) / (2 * (1 - lambda * T));
disp(['平均等待时间：', num2str(L), '秒']);

4.5 结果验证与分析

将模型得到的结果与实际观测数据进行比对。如果误差较大，可能需要调整模型的参数或假设。例如，可以通过实地数据测量校正车流量参数。

4.6 模型优化与改进

通过调整信号灯的时长，提高车辆的通行效率。可以进行多个不同方案的数值模拟，比较其效果，选择最佳方案。

% 优化信号灯时长
best_T = 0;
min_waiting_time = inf;
for T = 10:1:60
    L = (lambda^2 * T) / (2 * (1 - lambda * T));
    if L < min_waiting_time
        min_waiting_time = L;
        best_T = T;
    end
end
disp(['优化后的最佳信号灯时长：', num2str(best_T), '秒']);