CATO原理中的数学与魔术（十四）—

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系列终于进入尾声！前面13篇文章已经穷尽搜刮掉我目力所及的全部CATO魔术的相关内容，并重新建立理论，分门别类进行了介绍。详情请戳：

CATO原理中的数学与魔术（十三）——综合应用

CATO原理中的数学与魔术（十二）——CATO与MAT principle

CATO原理中的数学与魔术（十一）——Parity Principle及其应用二：集合的可视化

CATO原理中的数学与魔术（十）——Parity Principle及其应用一：集合的基本性质

CATO原理中的数学与魔术（九）——Royal Hummer 及其进阶二

CATO原理中的数学与魔术（八）——Royal Hummer及进阶一

CATO原理中的数学与魔术（七）——Baby Hummer的拓展二

CATO原理中的数学与魔术（六）——Baby Hummer的拓展一

CATO原理中的数学与魔术（五）——Baby Hummer

CATO原理中的数学与魔术（四）——群论视角

CATO原理中的数学与魔术（三）——性质保持和转化操作集

CATO原理中的数学与魔术（二）——数学模型

CATO原理中的数学与魔术（一）——经典回顾

在前面对整个系列一大堆作品的解释中，其实有个问题。就是用来解释魔术为什么成立的数学模型，往往只能从呈现结果上，找到过程中的状态变化规律，并最终解释为什么规律得以存在。但这就像所有魔术的秘密之于魔术全部一样，都只是很小的一部分。我告诉你这个秘密，你并不能设计出一个原理类似，令人惊艳的新作品来。类似于你只是学会了菜谱，并没有掌握烹饪的原理一样。

那作为CATO原理的魔术设计，也就是前面这么多魔术的设计结果，到底是用什么思路想出来的？别的系列的数学魔术设计，是不是也是类似的通用方法呢？

这就涉及我们要对魔术为什么神奇来进行建模了，之前只是建模了结果为什么对，并没说对的结果是如何因为整个流程而神奇的。

在数学魔术中，神奇的原因来自于无法很快复盘出整个过程的自动机以及每个阶段所关注的核心性质，否则效果就是透明的。而这得益于你设计的整个路径能够很好地掩藏秘密，以及观众能浅层地感受到少量的麻烦能带来足够多的混乱，这就是他们对神奇的基本理解：看不懂是前提，感兴趣是重点。

在CATO原理魔术的讲解中，我大多都是把过程分为进入，保持，呈现3个阶段，以上所有的系列，都是在举例说明，这些阶段在一些plot里是如何做的。而实际上，几乎所有的数学魔术，都可以用这个宏观模型来理解，要么当面或者setting地进入性质状态，状态的等价转化的保持，以及最终的呈现。以下是我对这3个过程的设计方法的总结：

宏观上，用自动机来理解魔术的过程，因为数学魔术不涉及手法，不涉及观测的直接内容和实际发生的区别（比如double），因此，其主要的构建误差来源于无法抓住不变性规律来把握状态中的某些简单性质，而记忆力又不足以支撑记住所有的过程（记住了也没用，也没法解释证明对任意操作，状态性质成立）。而显然，最终呈现的性质，无论是当作巧合预言还是感应，都一定以某种别的形式出现在初始状态上，并经过逐步的操作，状态性质得以转化或保持，最后呈现出效果。故构成一个可行的数学魔术，有这么几个要素：

0 初始状态的性质能隐藏很好，要么因为数学性质本身的复杂性（4kings折纸，四重巧合之金刚的周期性等），要么有好的错引或障眼法躲避（英国女王红黑魔术快速带过，dead parity sketch桌面下插入）；即看起来不奇怪，而且和最终效果之间本身难以直接联系起来（也靠后面流程的制造和呈现的分离）；但只要是初始状态，人们就可以去怀疑内部有规律结构，因此还需要下述打乱步骤；

1 打乱过程自由公平，且中间状态的性质同样隐藏的好：初代的打乱如心心相印和4Ace聚首的reverse，自由度都不大，CATO等则是精华了；这里根据状态是转化还是保持又分为直接还是间接常量；而dead parity sketch等CATO魔术有时要在背后操作打乱为了不好观察，其他的4kings折纸等则隐藏本来就好，而四重巧合之金刚等要利用牌的背面不可见性来隐藏性质；

2 呈现结果能表达神奇：从打乱状态到呈现，一定有一个呈现操作，有时候就是简单的翻开（四重巧合之金刚），而有的则有一套流程，比如cato的parity separabability procedure；如果是预言效果，那随机且相等就可以了，中途改的函数操作的对应（吉普赛测试）也无妨；巧合的话，往往要呈现出混乱中的规律性，比如位置全乱，但是集合是4Ace，加和为多少的集合性质，张数相同等，这种克制的效果反而更神奇；

这样，数学魔术就可以描述为状态机的变动了，而状态加上观察就是全部的呈现了，且是牌叠集合上的状态，也很简单的。

而从整个牌叠的魔术来看的启发是，如何找到各个隐藏特征之间的关系，然后在关系上转化，满足魔术的需求即为所求，像CATO原理的亦或逻辑就是典型。

当然以上只是可行，仅代表从秘密层面可以有效隐藏，但不代表好看或者吸引人。真正的好魔术还需要足够出色的艺术包装，这才决定魔术的上限，否则不被揭秘只是成为魔术的下限而已。那这里就需要有很多难以全部建模成的感性的内容：可以是历史作品的致敬彩蛋，也可以是某种一看到就能够让人眼前一亮的对比而来的创新。但这一切又在数学原理所描述的可行解的空间内进行，提供了边界。

因此，数学魔术的创作过程，往往是双向进行的，艺术提出对效果达成的需求，数学膜形翻译这样的需求为数学问题，进而尝试解决；在解决的过程中，往往还能够有一些新的效果，艺术侧并没有发现果，可以以此为核心效果进行再创作，CATO原理的数学魔术就是典型。这一过程和所有的科学研究一样，就是数学理论与数学模型的螺旋进步，互相促进，很难说是物理的研究需求推动了微积分的发明，还是微积分理论的进步使得物理学进入了牛顿的时代。

而这部分内容，还需要对OB建模，以及人感到神奇的状态机建模，这两项前者勉强还能解决，但是后者要用数学模型描述清楚就十分困难了，相当于要建立人脑思维模型了。这很复杂不说，每个人还都不一样；而如果这个项目完成了，数学魔术的大厦就真的落成了，可以自动化批量生产了。而短暂的当下，还只能人亲自靠灵感执行。

而你可能也发现了，前面Baby/Royal Hummer，Parity Principle3个系列，是从CATOQD性质的集合类型和用法讲起的，有存在的单元素集作为目标牌，其中一个集合为目标集合，两个集合分别构建等价的性质。它们性质的区别都会对形成的魔术有限制，进而影响呈现方式。好在每个作品都做到了在限定下足够优秀，以至于没什么限定感了。

好了，到此，整个CATO原理的数学和魔术部分就全部介绍完毕了。CATO原理只是数学魔术浩瀚海洋中的一颗明珠而已，我们借着它的亮光，向上抽象出了状态机的数学模型，其具体的商集的性质形式，还有其作为魔术神奇有效的设计指南，相信随着例子越来越多，我们的数学魔术大业将逐步落成。

感谢各位的陪伴，下个系列见！

部分参考文献：

1. predictable parity，dead parity sketch，paradox papers：

https://maa.org/community/maa-columns/past-columns-card-colm/many-fold-synergies

2. CATO and parity：

https://www.conjuringarchive.com/list/category/2747

3. odd hummer principle：

https://arxiv.org/pdf/2308.02684.pdf

4. Bob Hummer：

http://geniimagazine.com/wiki/index.php/Bob_Hummer

5. CATTO：

https://www.themagiccafe.com/forums/viewtopic.php?topic=170914&forum=99

6. 商集：

https://www.bananaspace.org/wiki/%E5%95%86%E9%9B%86

7. 商群：

https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E5%95%86%E7%BE%A4#:~:text=%E5%9C%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E5%95%86%E7%BE%A4,mod%E6%98%AF%E6%A8%A1%E7%9A%84%E7%AE%80%E5%86%99%EF%BC%89%E3%80%82

8. 群同态：

https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%BE%A4%E5%90%8C%E6%85%8B

9. 群同构：

https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%BE%A4%E5%90%8C%E6%A7%8B

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！