数据结构——优先级队列(堆)Priority Queue详解

1. 优先级队列

队列是一种先进先出(FIFO)的数据结构，但有些情况下，操作的数据可能带有优先级，一般出队列时，可能需要优先级高的元素先出队列，该场景下，使用队列不合适

在这种情况下，数据结构应该提供两个最基本的操作，一个是返回最高优先级对象，一个是添加新的对象，这种数据结构就是优先级队列（Priority Queue）

2. 优先级队列的模拟实现

2.1 堆的概念

性质：

如上图，堆中某个节点的值总是不大于其父节点的值，称为最小堆/小根堆

堆中某个节点的值总是不小于其父节点的值，称为最大堆/大根堆

堆总是一棵完全二叉树

2.2 堆的存储方式

从堆的概念可知，堆是一棵完全二叉树，因此可用层序的规则采用顺序的方式进行高效存储

tip：对于非完全二叉树则不适合使用顺序方式进行存储，因为为了能够还原二叉树，空间中必须要存储空节点，就会导致空间利用率较低

将元素存储到数组中后，假设 i 为节点在数组中的下标，则有：

如果 i 为0，则 i 表示的节点为根节点，否则 i 节点的双亲结点为（i - 1)/2
如果 2*i+1 小于节点个数，则节点 i 的左孩子下标为 2*i+1 ，否则没有左孩子
如果 2*i+2 小于节点个数，则节点 i 的右孩子下标为 2*i+2 ，否则没有右孩子

2.3 堆的创建

2.3.1 堆向下调整

以集合{ 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 }为例，转换为大根堆的过程：

//TestHeap 类
public class TestHeap {
    public int[] elem;//堆由数组实现
    public int usedSize;//记录有效数据个数

    public TestHeap() {//构造方法
        this.elem = new int[10];
    }

    public void init(int[] array) {//给数组初始化
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            elem[i] = array[i];
            usedSize++;
        }
    }

    //把elem数组中的数据调整为大根堆
    public void createHeap() {
        //让parent初始位置在树的最后一棵子树的根节点处，用到公式：根节点 = (i-1)/2
        //其中usedSize-1表示最后一个节点，从上到下循环遍历整棵树
        for (int parent = (usedSize-1-1)/2; parent >= 0; parent--) {
            //siftDown方法用来判断树中左右孩子与父亲节点的大小关系
            siftDown(parent,usedSize);
        }
    }

    //交换函数
    public void swap(int i, int j) {
        int tmp = elem[i];
        elem[i] = elem[j];
        elem[j] = tmp;
    }
    public void siftDown(int parent, int end) {
        int child = 2*parent+1;//公式：左孩子下标 = 2*根节点下标+1
        while(child < end) {//end是有效数据个数，不能用<=
            //下面if走完之后，child一定是左右孩子中最大值的下标
            if(child+1 < end && elem[child] < elem[child+1]) {
                child++;
            }
            //下面if判断孩子节点是否大于父亲节点，若大于则交换，否则跳出循环，去判断上一棵树
            if(elem[child] > parent) {
                swap(child,parent);
                parent = child;
                child = 2*parent+1;
            }else {
                break;
            }
        }
    }
}

//Test 类
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};
        TestHeap testHeap = new TestHeap();
        testHeap.init(array);
        testHeap.createHeap();
    }
}

tip：在调整以parent为根的二叉树时，必须要满足parent的左子树和右子树已经是堆，才可以向下调整

时间复杂度：最坏的情况就如上例，从根一路比较到叶子，比较的次数为完全二叉树的高度，即时间复杂度为 $O(\log _{2}N)$

2.3.2 建堆的时间复杂度

推导：

因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了方便计算，使用满二叉树来推导

结论：建堆的时间复杂度为 O(N)

2.4 堆的插入与删除

2.4.1 堆的插入

堆的插入需要两步

1. 先将元素放到树底层最后一个节点（空间不够时扩容）

2. 将插入新节点向上调整，直到满足堆的性质

    public void offer(int val) {
        if(isFull()) {//判满，若满则扩容
            elem = Arrays.copyOf(elem,2*elem.length);
        }
        elem[usedSize] = val;//val赋值到usedSize位置，usedSize++
        usedSize++;
        siftUp(usedSize-1);//向上调整
    }
    public void siftUp(int child) {
        int parent = (child-1)/2;//通过孩子节点找到父亲节点
        while(parent >= 0) {//当父亲节点下标小于0，说明向上调整结束了，堆已有序
            if(elem[child] > elem[parent]) {//孩子节点的值大于父亲节点值，即交换
                swap(child,parent);
                child = parent;
                parent = (child-1)/2;
            }else {//若孩子节点的值小于父亲节点的值，说明堆已有序，直接跳出循环
                break;
            }
        }
    }
    public boolean isFull() {
        return usedSize == elem.length;
    }

2.4.2 堆的删除

tip：堆的删除一定删除的是堆顶元素，分为三步：

1. 将堆定元素对堆中最后一个元素交换

2. 将堆中有效数据个数减少一个

3. 对堆顶元素进行向下调整

    public int poll() {
        if(isEmpty()) {//若栈空，返回-1
            return -1;
        }
        int old = elem[0];//记录要删除的数据，最后返回
        swap(0,usedSize-1);//交换堆顶元素和最后元素
        usedSize--;//有效个数--
        siftDown(0,usedSize);//从堆定开始，向下调整
        return old;
    }
    public boolean isEmpty() {
        return usedSize == 0;
    }

例题：

1.下列关键字序列为堆的是:()

A: 100,60,70,50,32,65 B: 60,70,65,50,32,100 C: 65,100,70,32,50,60

D: 70,65,100,32,50,60 E: 32,50,100,70,65,60 F: 50,100,70,65,60,32

选A

2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字8之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是()

A: 1 B: 2 C: 3 D: 4

解析：选C，15与10比，12与10比，12与16比

3.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是()

A: [3，2，5，7，4，6，8] B: [2，3，5，7，4，6，8]

C: [2，3，4，5，7，8，6] D: [2，3，4，5，6，7，8]

选C

3. 常用接口介绍

3.1 PriorityQueue的特性

Java集合框架中提供了PriorityQueue和PriorityBlockingQueue两种类型的优先级队列，PriorityQueue是线程不安全的，PriorityBlockingQueue是线程安全的，本文主要介绍PriorityQueue

    public static void main(String[] args) {
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>();

        priorityQueue.offer(1);
        priorityQueue.offer(2);
        priorityQueue.offer(3);

        System.out.println(priorityQueue.poll());//运行结果：1
        System.out.println(priorityQueue.poll());//        2
    }

关于PriorityQueue的使用注意：

1.使用时必须导入PriorityQueue所在的包，即：import java.util.PriorityQueue;
2. PriorityQueue中放置的元素必须要能够比较大小，不能插入无法比较大小的对象，否则会抛出 ClassCastException 异常
3. 不能插入null对象，否则会抛出 NullPointerException
4. 没有容量限制，可以插入任意多个元素，其内部可以自动扩容
5. 插入和删除元素的时间复杂度为 $O(log_2N)$
6. PriorityQueue底层使用了堆数据结构
7. PriorityQueue默认情况下是小堆---即每次获取到的元素都是最小的元素

3.2 PriorityQueue常用接口介绍

3.2.1 优先级队列的构造

此处只是常见的几种：

构造器	功能介绍
PriorityQueue()	创建一个空的优先级队列，默认容量是11
PriorityQueue(int initialCapacity)	创建一个初始容量为initialCapacity的优先级队列，注意： initialCapacity不能小于1，否则会抛IllegalArgumentException异常
PriorityQueue(Collection c)	用一个集合来创建优先级队列

构造方法原理：

用一个集合来创建优先级队列：

class Student {

}
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        ArrayList<Integer> arrayList = new ArrayList<>();
        arrayList.add(1);
        arrayList.add(2);
        arrayList.add(3);
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(arrayList);

        priorityQueue.offer(4);
        priorityQueue.offer(5);
        priorityQueue.offer(6);

        System.out.println(priorityQueue.poll());//运行结果：1
        System.out.println(priorityQueue.poll());//        2

        PriorityQueue<Student> priorityQueue1 = new PriorityQueue<>(arrayList);//error
        //传入参数必须是Student类或其子类
    }
}

3.2.2 offer元素原理：

查看源码：

结合上面创建小根堆的流程分析：

自己实现比较器：

//实现小根堆的比较器
class IntCmp implements Comparator<Integer> {
    @Override
    public int compare(Integer o1, Integer o2) {
        return o1.compareTo(o2);//小根堆
    }
}
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new IntCmp());//别忘了此处new比较器对象作为参数

        priorityQueue.offer(4);
        priorityQueue.offer(5);
        priorityQueue.offer(6);

        System.out.println(priorityQueue.poll());//运行结果：4
        System.out.println(priorityQueue.poll());//        5
    }
}

//实现大根堆的比较器
class IntCmp implements Comparator<Integer> {
    @Override
    public int compare(Integer o1, Integer o2) {
        return o2.compareTo(o1);//大根堆 两比较器仅有此处不同！！！！！！！！！！！！！！
    }
}
public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        PriorityQueue<Integer> priorityQueue = new PriorityQueue<>(new IntCmp());

        priorityQueue.offer(4);
        priorityQueue.offer(5);
        priorityQueue.offer(6);

        System.out.println(priorityQueue.poll());//运行结果：6
        System.out.println(priorityQueue.poll());//        5
    }

3.2.3 PriorityQueue的扩容方式

以下是JDK17中的源码：

说明：

如果容量小于64时，按照oldCapacity的2倍方式扩容

如果容量大于等于64，按照oldCapacity的1.5倍方式扩容

如果容量超过MAX_ARRAY_SIZE，按照MAX_ARRAY_SIZE来进行扩容

3.3 OJ练习

top-k问题：最大或最小的前k个数据

    public static int[] smallestK(int[] arr, int k) {
        PriorityQueue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            minHeap.offer(arr[i]);
        }
        int[] tmp = new int[k];
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            int val = minHeap.poll();
            tmp[i] = val;
        }
        return tmp;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = {27,15,19,18,28};
        int[] ret = smallestK(array,3);
        System.out.println(Arrays.toString(ret));
    }

运行结果：

虽然上述方法也能满足需求，但是其时间复杂度为 $O((N+K)*\log _{2}N)$

不是非常好的解决方案，现需要一个时间复杂度更小的方法：

若求前K个最小的数字

1. 先把前 K 个元素建立大小为K的大根堆

2. 遍历剩余 N-K 个元素，若堆顶元素大于当前 i 下标的值就出堆

这样遍历完数组后，大小为 K 的堆中就是最小的 K 个元素

反之求前K个最大的数字就建立小根堆

class IntCmp implements Comparator<Integer> {
    @Override
    public int compare(Integer o1, Integer o2) {
        return o2.compareTo(o1);//大根堆
    }
}
class Solution {
    public int[] smallestK(int[] arr, int k) {
        int[] tmp = new int[k];
        if(k == 0) {
            return tmp;
        }
        PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>(new IntCmp());
        //1.把前K个元素放进堆中
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            maxHeap.offer(arr[i]);
        }
        //2.遍历剩下的 N-k 个元素
        for (int i = k; i < arr.length; i++) {
            int val = maxHeap.peek();
            if(val > arr[i]) {
                maxHeap.poll();
                maxHeap.offer(arr[i]);
            }
        }
        //3.将堆中元素放到数组中
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            tmp[i] = maxHeap.poll();
        }
        return tmp;
    }
}

变种题：求第K小的数据，建立大根堆，堆顶元素就是第K小

3.4 堆排序

要求：在原堆上修改，不能新建

方法两步：

1. 建堆：

要求升序，建大堆
要求降序，建小堆

2. 利用堆删除来进行排序

建堆和堆删除中都用到了向下调整

    //堆排序 升序
    public void heapSort() {
        int endIndex = usedSize-1;
        while(endIndex > 0) {
            swap(0,endIndex);
            siftDown(0,endIndex);
            endIndex--;
        }
    }