Python多语言欧拉法和预测校正器实现

📜流体力学电磁学运动学动力学化学和电路中欧拉法

📜流体力学电磁学运动学动力学化学和电路中欧拉法示例：Python重力弹弓流体晃动微分方程模型和交直流电阻电容电路
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✒️多语言实现欧拉法和修正欧拉法

在数学和计算科学中，欧拉方法（也称为前向欧拉方法）是一种用于求解具有给定初值的常微分方程的一阶数值程序。考虑一个微分方程 d y / d x = f ( x , y ) d y / d x=f(x, y) dy/dx=f(x,y)，初始条件为 y ( x 0 ) = y 0 y(x 0)=y 0 y(x0)=y0，则该方程的逐次逼近可由下式给出：
y ( n + 1 ) = y ( n ) + h ∗ f ( x ( n ) , y ( n ) ) y(n+1)=y(n)+h * f(x(n), y(n)) y(n+1)=y(n)+h∗f(x(n),y(n))
其中 h = ( x ( n ) − x ( 0 ) ) / n h=(x(n)-x(0)) / n h=(x(n)−x(0))/n， $h $表示步长。选择较小的 h h h​ 值会导致更准确的结果和更多的计算时间。

例如，考虑微分方程 d y / d x = ( x + y + x y ) d y / d x=(x+y+x y) dy/dx=(x+y+xy)，初始条件为 y ( 0 ) = 1 y (0)=1 y(0)=1，步长为 h = 0.025 h =0.025 h=0.025。求 y ( 0.1 ) y(0.1) y(0.1)​。

解： f ( x , y ) = ( x + y + x y ) f(x, y)=(x+y+x y) f(x,y)=(x+y+xy)

x 0 = 0 , y 0 = 1 , h = 0.025 x 0=0, y 0=1, h=0.025 x0=0,y0=1,h=0.025

现在我们可以使用欧拉公式计算 y 1 y_1 y1​
y 1 = y 0 + h ∗ f ( x 0 , y 0 ) y 1 = 1 + 0.025 ∗ ( 0 + 1 + 0 ∗ 1 ) y 1 = 1.025 y ( 0.025 ) = 1.025. \begin{aligned} & y_1=y 0+h * f(x 0, y 0) \\ & y_1=1+0.025 *(0+1+0 * 1) \\ & y_1=1.025 \\ & y(0.025)=1.025 . \end{aligned} ​y1​=y0+h∗f(x0,y0)y1​=1+0.025∗(0+1+0∗1)y1​=1.025y(0.025)=1.025.​
类似地我们可以计算 y ( 0.050 ) , y ( 0.075 ) , … y(0.050), y(0.075), \ldots y(0.050),y(0.075),… y ( 0.1 ) y(0.1) y(0.1)​

y ( 0.1 ) = 1.11167 y(0.1)=1.11167 y(0.1)=1.11167

Python实现：

def func( x, y ):
	return (x + y + x * y)
	
def euler( x0, y, h, x ):
	temp = -0

	while x0 < x:
		temp = y
		y = y + h * func(x0, y)
		x0 = x0 + h

	print("Approximate solution at x = ", x, " is ", "%.6f"% y)
	
x0 = 0
y0 = 1
h = 0.025
x = 0.1

euler(x0, y0, h, x)

C++实现：

#include <iostream>
using namespace std;

float func(float x, float y)
{
	return (x + y + x * y);
}

void euler(float x0, float y, float h, float x)
{
	float temp = -0;

	while (x0 < x) {
		temp = y;
		y = y + h * func(x0, y);
		x0 = x0 + h;
	}

	cout << "Approximate solution at x = "
		<< x << " is " << y << endl;
}

int main()
{

	float x0 = 0;
	float y0 = 1;
	float h = 0.025;

	float x = 0.1;

	euler(x0, y0, h, x);
	return 0;
}

C#实现：

using System;

class GFG {

	static float func(float x, float y)
	{
		return (x + y + x * y);
	}

	static void euler(float x0, float y, float h, float x)
	{

		while (x0 < x) {
			y = y + h * func(x0, y);
			x0 = x0 + h;
		}

		Console.WriteLine("Approximate solution at x = "
						+ x + " is " + y);
	}

	public static void Main()
	{

		float x0 = 0;
		float y0 = 1;
		float h = 0.025f;
		float x = 0.1f;

		euler(x0, y0, h, x);
	}
}

Java实现：

import java.io.*;

class Euler {
	float func(float x, float y)
	{
		return (x + y + x * y);
	}

	void euler(float x0, float y, float h, float x)
	{
		float temp = -0;
		while (x0 < x) {
			temp = y;
			y = y + h * func(x0, y);
			x0 = x0 + h;
		}

		System.out.println("Approximate solution at x = "
						+ x + " is " + y);
	}

	public static void main(String args[]) throws IOException
	{
		Euler obj = new Euler();
		float x0 = 0;
		float y0 = 1;
		float h = 0.025f;
		float x = 0.1f;

		obj.euler(x0, y0, h, x);
	}
}

JavaScript实现：

<script>

	function func(x, y)
	{
		return (x + y + x * y);
	}

	function euler(x0, y, h, x)
	{
		let temp = -0;

		while (x0 < x) {
			temp = y;
			y = y + h * func(x0, y);
			x0 = x0 + h;
		}
		document.write("Approximate solution at x = "
						+ x + " is " + y);
	}

	let x0 = 0;
	let y0 = 1;
	let h = 0.025;

	let x = 0.1;

	euler(x0, y0, h, x);

</script>

预测校正器或修正欧拉法

Python实现

def f(x, y):
	v = y - 2 * x * x + 1;
	return v;

def predict(x, y, h):
	
	y1p = y + h * f(x, y);
	return y1p;


def correct(x, y, x1, y1, h):
	

	e = 0.00001;
	y1c = y1;

	while (abs(y1c - y1) > e + 1):
		y1 = y1c;
		y1c = y + 0.5 * h * (f(x, y) + f(x1, y1));

	return y1c;

def printFinalValues(x, xn, y, h):
	while (x < xn):
		x1 = x + h;
		y1p = predict(x, y, h);
		y1c = correct(x, y, x1, y1p, h);
		x = x1;
		y = y1c;


	print("The final value of y at x =",
					int(x), "is :", y);


if __name__ == '__main__':

	x = 0; y = 0.5;
	xn = 1;
	h = 0.2;

	printFinalValues(x, xn, y, h);

C++实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

double f(double x, double y)
{
	double v = y - 2 * x * x + 1;
	return v;
}

double predict(double x, double y, double h)
{
	double y1p = y + h * f(x, y);
	return y1p;
}

double correct(double x, double y,
			double x1, double y1,
			double h)
{

	double e = 0.00001;
	double y1c = y1;

	do {
		y1 = y1c;
		y1c = y + 0.5 * h * (f(x, y) + f(x1, y1));
	} while (fabs(y1c - y1) > e);

	return y1c;
}

void printFinalValues(double x, double xn,
					double y, double h)
{

	while (x < xn) {
		double x1 = x + h;
		double y1p = predict(x, y, h);
		double y1c = correct(x, y, x1, y1p, h);
		x = x1;
		y = y1c;
	}

	cout << "The final value of y at x = "
		<< x << " is : " << y << endl;
}

int main()
{
	double x = 0, y = 0.5;
	double xn = 1;
	double h = 0.2;

	printFinalValues(x, xn, y, h);

	return 0;
}

C#实现

using System;

class GFG
{
	
static double f(double x, double y)
{
	double v = y - 2 * x * x + 1;
	return v;
}

static double predict(double x, double y, double h)
{
	double y1p = y + h * f(x, y);
	return y1p;
}

static double correct(double x, double y,
			double x1, double y1,
			double h)
{

	double e = 0.00001;
	double y1c = y1;

	do
	{
		y1 = y1c;
		y1c = y + 0.5 * h * (f(x, y) + f(x1, y1));
	}
	while (Math.Abs(y1c - y1) > e);

	return y1c;
}

static void printFinalValues(double x, double xn,
					double y, double h)
{

	while (x < xn) 
	{
		double x1 = x + h;
		double y1p = predict(x, y, h);
		double y1c = correct(x, y, x1, y1p, h);
		x = x1;
		y = y1c;
	}

	Console.WriteLine("The final value of y at x = "+
						x + " is : " + Math.Round(y, 5));
}

static void Main()
{

	double x = 0, y = 0.5;
	double xn = 1;
	double h = 0.2;

	printFinalValues(x, xn, y, h);
}
}

Java实现

import java.text.*;

class GFG
{

static double f(double x, double y)
{
	double v = y - 2 * x * x + 1;
	return v;
}

static double predict(double x, double y, double h)
{
	double y1p = y + h * f(x, y);
	return y1p;
}

static double correct(double x, double y,
					double x1, double y1,
					double h)
{
	double e = 0.00001;
	double y1c = y1;

	do
	{
		y1 = y1c;
		y1c = y + 0.5 * h * (f(x, y) + f(x1, y1));
	}
	while (Math.abs(y1c - y1) > e);

	return y1c;
}

static void printFinalValues(double x, double xn,
					double y, double h)
{

	while (x < xn) 
	{
		double x1 = x + h;
		double y1p = predict(x, y, h);
		double y1c = correct(x, y, x1, y1p, h);
		x = x1;
		y = y1c;
	}

	DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.#####");
	System.out.println("The final value of y at x = "+
						x + " is : "+df.format(y));
}

public static void main (String[] args) 
{

	double x = 0, y = 0.5;
	double xn = 1;
	double h = 0.2;

	printFinalValues(x, xn, y, h);
}
}

JavaScript实现

<script>
	function f(x , y) {
		var v = y - 2 * x * x + 1;
		return v;
	}

	function predict(x , y , h) {
		var y1p = y + h * f(x, y);
		return y1p;
	}

	function correct(x , y , x1 , y1 , h) {

		var e = 0.00001;
		var y1c = y1;

		do {
			y1 = y1c;
			y1c = y + 0.5 * h * (f(x, y) + f(x1, y1));
		} while (Math.abs(y1c - y1) > e);
		return y1c;
	}

	function printFinalValues(x , xn , y , h) {

		while (x < xn) {
			var x1 = x + h;
			var y1p = predict(x, y, h);
			var y1c = correct(x, y, x1, y1p, h);
			x = x1;
			y = y1c;
		}

		document.write("The final value of y at x = " + x + " is : " + y.toFixed(5));
	}

		var x = 0, y = 0.5;
		var xn = 1;

		var h = 0.2;
		printFinalValues(x, xn, y, h);
</script>

👉参阅：计算思维 | 亚图跨际

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