关于椭圆的方程（有Python画的动图）

flyfish

几何定义

椭圆是平面上所有到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。这两个固定点叫做焦点。

解析几何描述

设椭圆的两个焦点为 $F_1$ 和 $F_2$，焦距（两焦点之间的距离的一半）为 $c$，长轴的半长轴为 $a$，短轴的半短轴为 $b$，椭圆上任意一点到这两个焦点的距离之和是一个常数 $2a$。如果椭圆的中心在原点，长轴平行于 $x$ 轴，则椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$如果长轴平行于 $y$ 轴，只需交换 $a$ 和 $b$ 的位置：$$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.animation import FuncAnimation, PillowWriter

def plot_ellipse_with_moving_point(a, b, num_frames=100, interval=50):
    # 椭圆方程参数
    theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, num_frames)
    x = a * np.cos(theta)
    y = b * np.sin(theta)
    
    # 焦点位置
    c = np.sqrt(a**2 - b**2)
    F1 = (-c, 0)
    F2 = (c, 0)
    
    # 创建图形
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))
    ax.plot(x, y, label=f'Ellipse: $\\frac{{x^2}}{{{a}^2}} + \\frac{{y^2}}{{{b}^2}} = 1$')
    ax.scatter(*F1, color='red')
    ax.scatter(*F2, color='red')
    ax.text(F1[0], F1[1], 'F1', fontsize=12, ha='right')
    ax.text(F2[0], F2[1], 'F2', fontsize=12, ha='left')
    ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
    ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
    ax.grid(color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5)
    ax.set_aspect('equal', adjustable='box')
    ax.set_title('Ellipse with Moving Point')
    ax.set_xlabel('x')
    ax.set_ylabel('y')
    ax.legend()

    # 初始化点 P 和连接线
    point, = ax.plot([], [], 'bo')
    line1, = ax.plot([], [], 'gray', linestyle='dotted')
    line2, = ax.plot([], [], 'gray', linestyle='dotted')

    # 初始化函数
    def init():
        point.set_data([], [])
        line1.set_data([], [])
        line2.set_data([], [])
        return point, line1, line2

    # 更新函数
    def update(frame):
        P = (a * np.cos(theta[frame]), b * np.sin(theta[frame]))
        point.set_data([P[0]], [P[1]])
        line1.set_data([F1[0], P[0]], [F1[1], P[1]])
        line2.set_data([F2[0], P[0]], [F2[1], P[1]])
        return point, line1, line2

    # 创建动画
    ani = FuncAnimation(fig, update, frames=num_frames, init_func=init, interval=interval, blit=True)

    # 保存动画
    ani.save('ellipse_with_moving_point.gif', writer=PillowWriter(fps=20))

    plt.show()

# 参数
a = 5
b = 3
plot_ellipse_with_moving_point(a, b)