论文阅读笔记：Towards Higher Ranks via Adversarial Weight Pruning
- 1 背景
- 2 创新点
- 3 方法
- 4 模块
- 4.1 问题表述
- 4.2 分析高稀疏度下的权重剪枝
- 4.3 通过SVD进行低秩逼近
- 4.4 保持秩的对抗优化
- 4.5 渐进式剪枝框架
- 5 效果
- 5.1 和SOTA方法对比
- 5.2 消融实验
- 5.3 开销分析
- 6 结论
论文：https://arxiv.org/pdf/2311.17493
代码：https://github.com/huawei-noah/Efficient-Computing/tree/master/Pruning/RPG
1 背景
虽然结构化剪枝可以带来较大的运行时加速收益，但其性能远低于非结构化剪枝。
在高度稀疏的情况下，作者观察到非结构化剪枝会退化成结构化剪枝。当权重具有较大比例的零时，极有可能出现一个结构化的模式，其中整个通道或滤波器几乎被完全剪枝。因此，现有的权重剪枝方法在高稀疏度下会遇到性能急剧下降的情况。
作者通过比较两种剪枝方法受到启发，提出在权重剪枝中减少结构模式。结构化剪枝实际上是深度卷积网络中权重秩的降低，因此可以采用秩作为平衡非结构化稀疏权重“结构化”程度的指标：如果一个系数权重的秩较低，则认为它是高度结构化的。为了避免非结构化剪枝过于结构化，希望在剪枝时保持高稀疏度下的权重秩。
2 创新点
基于秩改进的目标，作者提出了一种基于对抗秩的剪枝方法（Rank-based PruninG, RPG）。
3 方法
首先，通过最小化近似误差来找到权重的低秩近似。通过奇异值分解找到最佳低秩逼近。其次，为了提高权重秩，最大化权重与其低秩对应的权重之间的距离来提高权重秩。这种基于对抗秩的优化目标将稀疏权重引导到一个高秩拓扑上。所提出的方法以逐步修剪的方式进行，以稳定训练过程中的秩变化。通过在图像分类和下游任务上的大量实验评估了所提出的RPG方法的优势，图1表明，与基线相比，本文方法获得了矩阵秩优势。
4 模块
4.1 问题表述
在传统的有监督神经网络学习方面，给定一个目标损失函数
L
L
L ，神经网络权重
W
W
W 和 输入输出对
X
=
{
x
i
}
i
=
1
,
…
n
,
Y
=
{
y
i
}
i
=
1
,
…
n
X=\{x_i\}_{i=1,…n},Y=\{y_i\}_{i=1,…n}
X={xi}i=1,…n,Y={yi}i=1,…n，神经网络权重
W
W
W 训练过程可表述为：
权重剪枝限制了权重
W
W
W 中非零权重的总数，或者在数学意义上，权重剪枝对神经网络施加
l
0
l_0
l0 范数约束。给定稀疏度预算，约束描述为：
一种常见的做法就是用权重张量
W
W
W 和二值化掩膜
M
M
M 计算点积重参化权重
W
W
W。二值化掩码
M
M
M 具有与
W
W
W 相同的形状，M中的每个元素代表其在
W
W
W 中的对应参数是否被剪枝。在重参化后，权重剪枝问题被形式化为：
在非结构化剪枝的高稀疏度下，稀疏网络的秩可能会大幅降低。
4.2 分析高稀疏度下的权重剪枝
非结构化剪枝和结构化剪枝是两种主要的剪枝方法。在非结构化剪枝实践中，CNN的权重张量以细粒度的方式被剪枝：每个孤立的权重参数可以在网络内部关闭(即设为零)，但整个权重张量结构保持不变。相比之下，结构化剪枝侧重于过滤器的剪枝：过滤器作为剪枝过程中最小的可剪枝单元被截断。通过比较相同稀疏度预算下的两种剪枝范式，说明在相同的剪枝预算下，非结构化剪枝比结构化剪枝的效果要好得多。
这一现象可以从矩阵秩的角度进行解释。实际上，结构化剪枝是对权重矩阵的直接降秩，即过滤器剪枝本质上是低秩的权重剪枝。矩阵的秩表示矩阵所包含信息量的上界。一个强大的网络应该具有丰富的信息，作者希望稀疏网络的特征具有较高的秩。特征的秩与稀疏权重矩阵的秩密切相关，因为式（2.4）描述了矩阵乘法中秩的关系：
从式中可以看出，当直接影响权重
W
W
W 的秩进行过滤器剪枝时，输出特征的秩也会降低，从而导致信息丰富度急剧损失。另一方面，非结构化剪枝摆脱了过滤器剪枝的结构约束，从而保留了更多的信息量。
当稀疏度较高时，非结构化剪枝部分退化为结构化剪枝。当权重被大比例的填充零时，形成“准结构化”的稀疏权重模式。图1中矩阵秩的基线评估说明了这一问题。因此，现有的权重剪枝方法在高稀疏度下通常会遇到性能急剧下降的情况。受两类剪枝性质的启发，作者提出在非结构化剪枝中减少结构化模式，从而在高稀疏度下保持权重排序。
4.3 通过SVD进行低秩逼近
既然权重的秩在权重剪枝中很重要，那么就需要一种方法来计算深度神经网络中的秩。由于权重值总是离散的，作为备选解，作者收敛到一个近似的秩，而不是计算一个精确的秩。因此，定义近似秩如下：
定义1（矩阵的 δ \delta δ 秩） : 给定一个矩阵 W W W 和一个小的误差容忍度 δ > 0 \delta>0 δ>0， W W W 的 δ \delta δ 秩定义为最小的正整数 k k k，使得存在一个 k k k 秩矩阵，它到 W W W 的 l 2 l_2 l2 距离小于 δ \delta δ。
在之前的工作中，秩是通过奇异值分解计算奇异值来评估的。作者利用SVD计算定义1中的 δ \delta δ 秩。首先，说明SVD可以产生最佳的低秩近似：
定理1（最佳低秩近似）：假设
W
W
W 通过SVD分解，并令
W
=
∑
i
=
1
r
σ
i
u
i
v
i
T
W=\sum_{i=1}^r\sigma_iu_iv_i^T
W=∑i=1rσiuiviT，其中奇异值
{
σ
i
}
\{\sigma_i\}
{σi} 按降序排序。给定整数
k
<
r
k<r
k<r，
W
W
W 的最佳
k
k
k 秩逼近，即与
W
W
W 有最小
l
2
l_2
l2 距离的
k
k
k 秩矩阵为：
由于SVD可以得到更好的低秩逼近，可以利用这个性质来求解定义1中的
δ
\delta
δ 秩。给定权重矩阵
W
W
W，寻找最小的
k
k
k 使得最佳
k
k
k 秩逼近
W
~
\widetilde{W}
W
的
l
2
l_2
l2 逼近误差小于误差容忍度
δ
\delta
δ。附录有给出证明。
4.4 保持秩的对抗优化
与低秩逼近不同，高秩矩阵是低秩矩阵难以逼近的。只要 W W W 保持它与最佳低秩逼近的距离，就可以增加它的秩。因此作者设计了一种对抗机制，增加 W W W 被低秩矩阵逼近的难度，从而在剪枝时提高 W W W 的矩阵秩。首先，通过奇异值分解生成低秩 k k k 的最佳低秩近似矩阵 W ~ \widetilde{W} W ，以最小化 W ~ \widetilde{W} W 到 W W W 的距离。然后，对 W W W 进行优化，增加 W W W 与 W ~ \widetilde{W} W 的距离。这个过程可以理解为 W W W 与 W ~ \widetilde{W} W 之间的对抗，当低秩的 W ~ \widetilde{W} W 试图拟合 W W W 时， W W W 被优化以保持自身原理 W ~ \widetilde{W} W 。从数学上讲，这个对抗可以被表述为一个 min-max 问题。
但不幸的是，这个问题可能面临着无法收敛的风险。因为当 W ~ \widetilde{W} W 固定时， W → ∞ W→∞ W→∞最佳。为了在优化过程中解决这个问题，作者将 W W W 限制在一个欧式范数球内。换句话说，作者将 W ∣ ∣ W ∣ ∣ F \frac{W}{||W||_F} ∣∣W∣∣FW 代替 W W W 代入问题。这里使用 l 2 l_2 l2 标准化的原因是：1. W W W 是有界的，而不是增长达无穷大的；2.在优化 min-max 问题时，如果对 W W W 进行 l 2 l_2 l2 归一化， W W W 的秩可以增加（定理2中有证明）。3.对权重进行 l 2 l_2 l2 归一化等价于对其奇异值进行 l 2 l_2 l2 归一化，在给定固定误差容忍度的情况下，根据定义1中秩的定义，为秩提供了比较公平的准则。
在介绍这个 min-max 问题之前，引入几个符号：
∣
∣
⋅
∣
∣
F
||·||_F
∣∣⋅∣∣F 是矩阵的2范数。
I
I
I 是恒等矩阵，
W
‾
:
=
W
∣
∣
W
∣
∣
\overline{W} := \frac{W}{||W||}
W:=∣∣W∣∣W 是
l
2
l_2
l2 标准化权重矩阵
W
W
W，
U
,
Σ
,
V
U, \Sigma, V
U,Σ,V 为 SVD 分解
W
W
W 得到的矩阵，其中
U
=
{
u
1
,
u
2
,
…
}
U=\{u_1,u_2,…\}
U={u1,u2,…} 和
V
=
{
v
1
,
v
2
,
…
}
V=\{v_1,v_2,…\}
V={v1,v2,…} 为正交基，
Σ
\Sigma
Σ 为对角矩阵，其中奇异值
{
σ
1
,
σ
2
,
…
}
\{\sigma_1,\sigma_2,…\}
{σ1,σ2,…} 在对角线上按降序排列。算子
T
r
u
n
(
U
Σ
V
T
)
=
∑
i
=
1
k
σ
i
u
i
v
i
T
Trun(U\Sigma V^T)=\sum_{i=1}^k\sigma_iu_iv_i^T
Trun(UΣVT)=∑i=1kσiuiviT 表示
k
k
k 阶截断SVD，或
W
W
W 的
k
k
k 阶最佳逼近。min-max问题形式化的表示如下：
优化目标被定义为对抗秩损失：
在这个情况下，作者提出如下定理，即对抗秩损失可以引导权重 W W W 向更高阶的方向移动：
定理2（对抗秩损失的有效性）： 给定方程( 2.6 )中定义的对抗秩损失，如果通过梯度下降来优化秩损失中的W，那么W的秩将会增加。（附录有给出证明）
利用提出对抗秩损失，优化目标包括两个方面：1. 针对某个任务（如分类，检测等）减少损失，已提高稀疏网络的性能；2.通过减少秩损失来获得更高的权重秩。给定复合超参
λ
\lambda
λ， Rank-based PruninG(RPG)的优化目标
L
L
L 可以定义为：
4.5 渐进式剪枝框架
之前的工作已经提出了各种剪枝框架，作者认为渐进式剪枝（Gradual Pruning,GP）可以再适中的训练预算下达到更好的性能，所以将其作为剪枝框架。GP在每次训练过程中修剪掉一小部分权重，试图通过迭代的“剪枝和训练”过程来保持稀疏的网络性能。
本文的PRG方法过程如下：没经过
Δ
T
\Delta T
ΔT 就执行更新二进制掩码M的剪枝-生成过程，使得经过掩码更新后，整个网络在当前迭代时达到目标稀疏度。随着训练的进行，目标稀疏度会逐渐增加，这与GP相同。其次，对所有参数进行基于重要性的全局排序（代码里使用L1范数），并执行剪枝。最后，基于梯度进行参数生成。对于其他训练步骤(指出了剪枝阶段的finetune阶段)，掩码M保持不变，对活跃的权重值进行更新。具体见算法1。
关于基于梯度进行参数生长代码如下：
score_grow = self.backward_hook_objects[l].dense_grad score_grow = torch.abs(score_grow) score_grow = score_grow.view(-1) # mask1是二值化掩膜，形状和M一样，权重的L1范数前α比例的位置为1，其他位置为0 score_grow_lifted = torch.where(mask1 == 1, torch.ones_like(mask1) * (torch.min(score_grow) - 1), score_grow) # mask2是二值化掩膜，形状和M一样，score_grow_lifted前α比例的位置为1，其他位置为0 mask_combined = torch.reshape(mask1 + mask2, current_mask.shape).bool()
5 效果
5.1 和SOTA方法对比
在InageNet上，不同稀疏度剪枝下的效果如表2。
在ImageNet上的计算量和准确率如图3。
Deep Sparse是最近提出的一种CPU上的稀疏加速框架。将ResNet50在Deep Sparse上进行时间稀疏。在CPU上的准确率和耗时如表3。
对MaskRCN进行剪枝后在COCO val2017数据集上的效果如表4。
对基于transformer的模型，本文的方法虽然没有专门为注意力机制设计，但在DeiT-S上也取得了很好地效果，如表5。
5.2 消融实验
关于超参 λ \lambda λ 的消融实验，如图4。
5.3 开销分析
RPG涉及昂贵的SVD计算。然而，作者进行了实验，并说明在时间和FLOP方面，SVD在剪枝过程中所占的成本开销非常小。如表6所示，SVD计算的总体时间和FLOPs仅占整个RPG剪枝成本的< 2 %。作者还比较了RPG与其他剪枝方法的FLOPs开销。从表7可以观察到，与基线相比，本文方法是最具有成本效益的。最重要的是，秩损失计算带来的额外开销并不是一个值得关注的问题。
6 结论
非结构化剪枝对GPU设备的加速效果非常有限。
