1.线性回归

一个简化模型

• 假设1：影响放假的关键因素是卧室个数，卫生间个数和居住面积，记为x1,x2,x3
• 假设2：成交价实关键因素的加权和 y = w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 +b

权重和偏差的实际值在后面决定

线性模型：可以看做是单层神经网络

• 给定n维输入 x = [x1,x2,…xn]
• 线性模型有一个n维权重和一个标量偏差
  • w = [w1,w2,…,wn] b
• 输入是输出的加权和
  • y = w1 * x1 + w2 * x2 +…+wn * xn + b
• 向量版：y = <w , x> + b

衡量预估质量

• 比较真实值和预估值，例如房屋售价和估价
• 假设y是真实值，z是估计值，我们可以比较
  • L(y，z) = 1/2(y-z)^2 这个叫做平方损失

训练数据

• 收集一些数据点来决定参数值（权重和偏差），例如过去6个月卖的房子
• 这被称为训练数据
• 通常越多越好
• 假设我们有n个样本，记
  • X =[x1,x2,x3…xn] y = [y1,y2,y3…yn]

参数学习

显示解

总结

• 线性回归是对N维输入的加权，外加偏差
• 使用平方损失来衡量预测值和真实值的差异
• 线性回归有显示解，一般都网络都是非线性的没有显示解
• 线性回归可以看做是单层神经网络

2.基础优化方法

梯度：使得损失函数增加最快的方向

负梯度：是损失函数减小最快的方向

小批量随机梯度下降

​ 在实际中我们很少使用梯度下降，深度学习中最常用的小批量随机梯度下降

• 在整个训练集上算梯度太贵
  • 一个深度神经网络模型可能需要数分钟至数小时
    

选择批量大小

• 不能太小：每次计算量太小，不适合并行来最大利用计算资源
• 不能太大：内存消耗增加浪费计算

总结

• 梯度下降通过不断沿着反梯度方向更新参数求解
• 小批量随机梯度下降是深度学习默认的求解算法
• 两个重要的超参数是批量大小和学习率

3.Softmax回归：其实是一个分类问题

回归VS分类

• 回归估计一个连续值：如房价的预测
• 分类预测一个离散类别：如猫狗等图片分类

MNIST：手写数字识别（10类）

ImageNet：自然物体分类（1000类）

Kaggle上的分类问题：Kaggle一个数据建模和数据分析竞赛平台

• 将人类蛋白质显微镜图片分成28类
• 将恶意软件分成9个类
• 将恶意的Wikopedia评论分成7类

回归

• 单连续数值输出
• 自然区间R
• 跟真实值的区别做为损失

分类

• 通常多个输出
• 输出i是预测为第i类的置信度
  

从回归到多类分类—均方损失

​ 针对分类来讲，不关心他们之间的实际的值，是关心对正确类别的置信度特别大。

​ 假设oy为真实值 oi为预测值，他们不关心oi的大小

​ 他们是关系 oy - oi 大于等于 某个阀值，或者说我们正确的oi要远远大于其他类别的oi

Softmax和交叉熵损失

4.损失函数

​ 损失函数用来衡量真实值和预测值的区别。介绍三个基本损失函数

L2 Loss（L2范式）

橙色线为：梯度

绿色线为：它的似然函数，高斯分布

蓝色线为：y = 0时变换y’的函数

​ 蓝线代表真实值和预测值的差值，当它大时，梯度值也是较大的

L1 Loss

​ 这种损失函数的特性：不管预测值和真实值相差多远，我的梯度永远是常数，所以权重更新稳定，但是此函数零点出不可导，所以它具有不平滑性，当你的预测值和真实值靠近时，会有剧烈变化

Huber Robust Loss

​ 当你的y’（导数）大于1时，是L1，当y’小于1时，是L2

​ 这个相当于L1和L2的结合，避免L1的不平滑性和L2在开始的不稳定性

5.从零开始实现Softmax回归

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256 
#load_data_fashion_mnist加载 Fashion-MNIST 数据集  10个类别的服饰图片数据集，每个类别包含7000张28x28像素的灰度图像。
#获取了两个迭代器 train_iter 和 test_iter 每次256张图像和对应的标签
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

#每张图片是28 * 28 * 1但是Softmax输入为向量，要把图片拉成向量
num_inputs = 784#28*28=784
num_outputs = 10#10个类
#定义权重和偏置
#w 以均值 0、标准差 0.01 的正态分布随机初始化，大小为 (num_inputs, num_outputs) 的张量
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
#b 是一个大小为 (num_outputs,) 的张量，其中 num_outputs 是输出的数量。通过 torch.zeros() 函数以全零初始化
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

#定义一个Softmax
def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

#定义网络模型
def net(X):
	#使用 torch.matmul() 函数计算输入数据 X 与权重 W 的矩阵乘法。
	#将偏置 b 加到上述结果中。
	#将结果应用 softmax 函数。
    #256 * 784
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

#定义交叉熵损失函数
def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

#将预测类别y_hat与真实y元素进行比较
def accuracy(y_hat, y): 
    """计算预测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        #axis=1 表示沿着第一个维度（通常是行）进行操作
        #y_hat.argmax返回一个一维张量，其中每个元素是对应样本的最大值的索引
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    #张量 y_hat 里的数据类型是否与张量 y 里的数据类型相同，并将结果存储在 cmp 变量中
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())
	#cmp.type(y.dtype) 将张量 cmp 中的数据类型转换为与张量 y 相同的数据类型。这是为了确保类型匹配。
	#.sum() 对张量中的所有元素进行求和操作。由于 True 在数值上等价于 1，而 False 在数值上等价于 0，因此求和操作将计算出 cmp 中值为 True 的元素的数量。
	#float() 将计算结果转换为浮点数类型。
	#这个结果通常用于计算模型预测的准确率，即模型正确预测的样本数量与总样本数量的比例。
    
#可以评估在任意模型net的准确率
def evaluate_accuracy(net, data_iter): 
    """计算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式 在评估模式下，模型不会进行参数更新
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():#一个上下文管理器，它指示 PyTorch 在接下来的代码块中不要进行梯度计算
        for X, y in data_iter:#遍历 data_iter 中的数据。在每次迭代中，X 是输入特征的批量，y 是对应的标签。
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
            #神经网络模型 net 对输入数据 X 进行前向传播，得到预测结果。然后使用 accuracy 函数计算预测结果的准确率。接着调用 metric 对象的 add 方法，将准确率和当前批量数据的样本数量 y.numel() 作为参数传入，用于累积这些值。这样可以在整个评估过程中跟踪模型的平均准确率
    return metric[0] / metric[1]

#Softmax回归训练，训练模型一个迭代周期
def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)#交叉熵损失函数
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()#梯度置为0
            l.mean().backward()#计算损失函数 l 对模型参数的梯度
            updater.step()#计算梯度后，调用优化器的 step() 方法来更新模型的参数
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

#训练函数
def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型（定义见第3章）"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        #使用训练数据集，训练一个周期
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        #使用测试数据集，评价精度
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        #将当前周期的训练指标和测试准确率添加到动画器中，以便可视化
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics#将训练指标解包，得到训练损失和训练准确率。
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc
    
#小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数
lr = 0.1
def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

#训练模型10个迭代周期
num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

6.Softmax回归的简介实现

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

#初始化模型参数
# PyTorch不会隐式（自动）地调整输入的形状。因此，
#创建了一个简单的神经网络模型 net
#nn.Flatten(): 这是一个用于将输入数据展平的层，将输入的多维数据（比如图像）展平成一维向量
# nn.Linear这是一个全连接层，将输入的 784 维向量映射到一个 10 维的输出向量。
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

def init_weights(m):#接受一个参数 m
    if type(m) == nn.Linear:#检查当前层 m 是否为线性层 (nn.Linear)
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)#如果是线性层，则使用正态分布（normal distribution）随机初始化该层的权重 m.weight，标准差为 0.01

net.apply(init_weights);#将定义的 init_weights 函数应用到神经网络模型 net 的所有层上，以便对每一层的权重进行初始化操作

#在交叉熵损失函数中传递未归一化的预测，并同时计算Softmax及其对数
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
#使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)
#训练
num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)