一、经验总结

以斐波那契数为例引入今天的主角：记忆化搜索和动态规划

题目链接

509. 斐波那契数 - 力扣（LeetCode）

题目描述

算法原理

编写代码

//解法二：递归->记忆化搜索
class Solution {
    int mem[31]; //备忘录
public:
    Solution()
    {
        memset(mem, -1, sizeof(mem));
    }
    int fib(int n) {
        if(mem[n] != -1) return mem[n];
        if(n==0 || n==1) 
            mem[n] = n;     
        else
            mem[n] = fib(n-1) + fib(n-2);
        return mem[n];
    }
};

//解法三：动态规划
class Solution {
    int dp[31]; //dp[i]表示第i个斐波那契数
public:
    int fib(int n) {
        dp[0] = 0, dp[1] = 1; //初始化
        for(int i = 2; i <= n; ++i) //从右往左填表
        {
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]; //状态转移方程
        }
        return dp[n]; //返回值
    }
};

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二、相关编程题

2.1 不同路径

题目链接

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

题目描述

算法原理

动态规划：从(1, 1)位置走起，到(m, n)位置结束。将第0行，第0列空下初始化为0方便处理边界情况。

编写代码

//解法一：记忆化搜索——自顶向下
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> memo(m+1, vector<int>(n+1, 0));
        return dfs(m, n, memo);
    }

    int dfs(int m, int n, vector<vector<int>>& memo)
    {
        if(m<1 || n<1) return 0;
        if(m==1 && n==1) return 1;
        if(memo[m][n]!=0) return memo[m][n];
        memo[m][n] = dfs(m-1, n, memo)+dfs(m, n-1, memo);
        return memo[m][n];
    }
};

//解法二：动态规划——自底向上
class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
        dp[1][1] = 1;
        for(int i = 1; i <= m; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
            {
                if(i==1 && j==1) continue;
                else dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

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2.2 最长递增子序列

题目链接

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）

题目描述

算法原理

编写代码

//解法一：记忆化搜索——自顶向下
class Solution {
    int n;
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        n = nums.size();
        vector<int> memo(n, 0); //记录的是每个位置对应的最长递增子序列
        int ret = 1;
        for(int i = 0; i < n; ++i) //选择子序列的首元素
        {
            ret = max(ret, DFS(nums, i, memo));
        }
        return ret;
    }

    int DFS(vector<int>& nums, int pos, vector<int>& memo)
    {
        if(memo[pos] != 0) return memo[pos];
        int ret = 1; //这里一定要初始化为1，最后一个元素不进入循环直接返回1
        for(int i = pos+1; i < n; ++i)
        {
            if(nums[i] > nums[pos]) //要满足递增的要求
            {
                ret = max(ret, DFS(nums, i, memo)+1);
            }
        }
        memo[pos] = ret;
        return ret;
    }
};

//解法二：动态规划——自底向上
class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n, 1);
        dp[n-1] = 1; //初始化：最后一个位置的长度为1
        int ret = 1;
        for(int i = n-1; i >= 0; --i) //填表顺序：从右向左
        {
            for(int j = i+1; j < n; ++j) //状态转移方程
            {
                if(nums[j] > nums[i])
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
            }
            ret = max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
};

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2.3 猜数字大小Ⅱ

题目链接

375. 猜数字大小 II - 力扣（LeetCode）

题目描述

算法原理

编写代码

class Solution {
public:
    int getMoneyAmount(int n) {
        vector<vector<int>> memo(n+1, vector<int>(n+1, 0)); //memo记录的是i位置的最小现金
        return DFS(1, n, memo); //DFS返回的是确保获胜的最小现金数
    }

    int DFS(int l, int r, vector<vector<int>>& memo)
    {
        if(l >= r) return 0; //l>r区间不存在；l==r区间内只有一个元素，一次选中不需要付钱
        if(memo[l][r] != 0) return memo[l][r];
        int ret = INT_MAX;
        for(int i = l; i <= r; ++i)
        {
            int left = DFS(l, i-1, memo); //左区间
            int right = DFS(i+1, r, memo); //右区间
            int tmp = max(left, right)+i; //确保获胜取max
            ret = min(ret, tmp); //最小现金数取min
        }
        memo[l][r] = ret;
        return ret;
    }
};

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2.4 矩阵中的最长递增路径

题目链接

329. 矩阵中的最长递增路径 - 力扣（LeetCode）

题目描述

算法原理

见代码

编写代码

class Solution {
    int dx[4] = {0, 0, 1, -1};
    int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
    int m, n;
public:
    int longestIncreasingPath(vector<vector<int>>& matrix) {
        m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
        vector<vector<int>> memo(m, vector<int>(n, 0));
        int ret = 0;
        // 选择路径起点
        for(int i = 0; i < m; ++i)
        {
            for(int j = 0; j < n; ++j)
            {
                ret = max(DFS(matrix, i, j, memo), ret); //DFS暴搜+memo优化
            }
        }
        return ret;
    }

    int DFS(vector<vector<int>>& matrix, int r, int c, vector<vector<int>>& memo)
    {
        if(memo[r][c] != 0) return memo[r][c];
        int ret = 1;
        for(int i = 0; i < 4; ++i)
        {
            int x = r+dx[i], y = c+dy[i];
            if(x>=0 && x<m && y>=0 && y<n && matrix[x][y]>matrix[r][c])
            {
                ret = max(DFS(matrix, x, y, memo)+1, ret);
            }
        }
        memo[r][c] = ret;
        return ret;
    }
};