为了展示多元线性回归的迭代过程，我们可以使用梯度下降算法手动实现多元线性回归。梯度下降是一种迭代优化算法，用于最小化损失函数。

我们将以下步骤进行手动实现：

1. 初始化回归系数。
2. 计算预测值和损失函数。
3. 计算梯度。
4. 更新回归系数。
5. 重复步骤2-4，直到损失函数收敛或达到最大迭代次数。

以下是用Python代码实现梯度下降算法进行多元线性回归的过程：

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成样本数据
np.random.seed(0)
X1 = np.random.rand(100) * 10
X2 = np.random.rand(100) * 10
y = 5 + 2 * X1 - 1 * X2 + np.random.randn(100) * 2

# 创建DataFrame
data = pd.DataFrame({'X1': X1, 'X2': X2, 'y': y})

# 特征矩阵和目标变量
X = data[['X1', 'X2']]
X = np.c_[np.ones(X.shape[0]), X]  # 添加一列1表示截距项
y = data['y'].values

# 初始化回归系数
theta = np.random.randn(3)

# 超参数
learning_rate = 0.01
max_iter = 1000
tolerance = 1e-6

# 梯度下降
for i in range(max_iter):
    # 计算预测值
    y_pred = X.dot(theta)
    
    # 计算损失函数（均方误差）
    loss = np.mean((y_pred - y) ** 2)
    
    # 计算梯度
    gradient = 2 * X.T.dot(y_pred - y) / y.size
    
    # 更新回归系数
    new_theta = theta - learning_rate * gradient
    
    # 判断是否收敛
    if np.max(np.abs(new_theta - theta)) < tolerance:
        print(f"在第{i+1}次迭代后收敛")
        break
    
    theta = new_theta

# 输出结果
print(f"回归系数: {theta}")
print(f"损失函数: {loss}")

# 评价模型
y_pred = X.dot(theta)
mse = np.mean((y_pred - y) ** 2)
r2 = 1 - (np.sum((y - y_pred) ** 2) / np.sum((y - np.mean(y)) ** 2))

print(f"均方误差: {mse}")
print(f"R^2 值: {r2}")

# 绘制真实值与预测值的比较
plt.scatter(y, y_pred)
plt.xlabel('真实值')
plt.ylabel('预测值')
plt.title('真实值 vs 预测值')
plt.plot([y.min(), y.max()], [y.min(), y.max()], color='red') # 画一条对角线
plt.show()

在这个代码中，我们手动实现了多元线性回归的梯度下降过程：

1. 初始化回归系数 theta。
2. 计算预测值 y_pred。
3. 计算损失函数（均方误差）。
4. 计算梯度。
5. 根据梯度更新回归系数 theta。
6. 检查收敛条件，达到收敛条件或最大迭代次数时停止迭代。

通过这种方法，我们能够清楚地看到迭代的过程以及每次迭代中回归系数的更新。

让我们详细解释一下梯度的计算公式。

在多元线性回归中，我们的目标是最小化损失函数，通常是均方误差（Mean Squared Error, MSE），它定义为：

为了最小化这个损失函数，我们使用梯度下降法。梯度下降法的核心是计算损失函数关于回归系数的梯度，然后沿着梯度的负方向更新回归系数。

梯度计算

这里乘以2是因为我们在计算均方误差时没有将常数1/2包含在内，所以在梯度计算中需要额外乘以2。

更新回归系数