独立同分布的中心极限定理：
设
X
1
,
X
2
,
…
,
X
n
X_1, X_2, \ldots, X_n
X1,X2,…,Xn 是独立同分布的随机变量序列，且
E
(
X
i
)
=
μ
E(X_i) = \mu
E(Xi)=μ，
D
(
X
i
)
=
σ
2
>
0
D(X_i) = \sigma^2 > 0
D(Xi)=σ2>0，则随机变量之和
∑
i
=
1
n
X
i
\sum_{i=1}^{n}X_i
∑i=1nXi 的标准化变量
∑
i
=
1
n
X
i
−
n
μ
n
σ
\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma}
nσ∑i=1nXi−nμ 的分布函数
F
n
(
x
)
F_n(x)
Fn(x) 对于任意
x
x
x 满足
lim
n
→
∞
F
n
(
x
)
=
Φ
(
x
)
\lim_{{n \to \infty}} F_n(x) = \Phi(x)
limn→∞Fn(x)=Φ(x)，其中
Φ
(
x
)
\Phi(x)
Φ(x) 是标准正态分布的分布函数。
简单来说，中心极限定理表明，当从任意一个总体中抽取样本量足够大的样本时，样本均值的分布将趋近于正态分布，无论原来的总体分布是什么。
mu = 1; % Population parameter
n = 1e3; % Sample size
ns = 1e4; % Number of samples
%%
rng('default') % For reproducibility
samples = exprnd(mu,n,ns); % Population samples
means = mean(samples); % Sample means
%%
[muHat,sigmaHat] = normfit(means);
numbins = 50;
%%
figure
histogram(means,numbins,'Normalization','pdf')
hold on
x = min(means):0.001:max(means);
y = normpdf(x,muHat,sigmaHat);
plot(x,y,'LineWidth',2)
box off
xlabel('$x$', 'FontSize',14, 'Interpreter','latex')
ylabel('$p(x)$', 'FontSize',14, 'Interpreter','latex')
