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SVM 分类器的误差函数

SVM 使用两条平行线，使用中心线作为参考系 $L:w_1{x}_1+w_2{x}_2+b=0$。我们构造两条线，一条在上面，一条在下面，分别为：

$$\begin{gathered} L+:w_1{x}_1+w_2{x}_2+b=1 \\ L-:w_1{x}_1+w_2{x}_2+b=-1 \end{gathered}$$

分类器由 $L+$ 和 $L-$ 组成。为训练 SVM，我们需要为由两条线组成的分类器构建一个误差函数，期望达成的目标有两个：

• 两条线中的每一条都应尽可能对点进行分类。
• 两条线应尽可能彼此远离。

误差函数表示如下：

$$误差=分类误差+距离误差$$

分类误差函数

点 $(x_1,x_2)$ 的预测函数为

$$\hat{y}=step(w_1{x}_1+w_2{x}_2+b)$$

显然这是一个离散感知器，其中：

$$y=step(x)=\{\begin{array}{l}0,x\le 0\\ 1,x>0\end{array}$$

定义分类误差函数如下：

$$\{\begin{array}{l}0,错误分类\\ |w_1{x}_1+w_2{x}_2+b|,正确分类\end{array}$$

例如，考虑标签为 $0$ 的点 $(4,3)$，两个感知器给出的预测为：

$$\begin{gathered} L+:\hat{y}=step(2x_1+3x_2-7)=1 \\ L-:\hat{y}=step(2x_1+3x_2-5)=1 \end{gathered}$$

可以看到两个感知器均预测错误，此时分类误差为：

$$|2x_1+3x_2-7|+|2x_1+3x_2-5|=22$$

距离误差函数

若两个线性方程如下：

$$\begin{gathered} L+:w_1{x}_1+w_2{x}_2+b=1 \\ L-:w_1{x}_1+w_2{x}_2+b=-1 \end{gathered}$$

根据两条平行直线间的距离公式：

$$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

则这两条平行线的垂直距离为：

$$d=\frac{2}{\sqrt{w_1^2+w_2^2}}$$

此为距离误差。注意到，当 $w_1^2+w_2^2$ 很大时，$d$ 很小；当 $w_1^2+w_2^2$ 很小时，$d$ 很大。因此 $w_1^2+w_2^2$ 是一个很好的误差函数。

C 参数

很多时候我们希望 SVM 分类器能侧重于分类误差或距离误差其中一个方面，那么我们可以使用 C 参数：

$$误差=C\cdot 分类误差+距离误差$$

C 参数如何控制两者的呢？

• C 很大：误差公式以分类误差为主，SVM 分类器更侧重于对点进行正确分类；
• C 很小：误差公式以距离误差为主，SVM 分类器更侧重于保持线之间的距离。

下面是一个例子：

svm_c_001 = SVC(kernel='linear', C=0.01)
svm_c_001.fit(features, labels)
 
svm_c_100 = SVC(kernel='linear', C=100)
svm_c_100.fit(features, labels)

上图为 C=0.01 的情况，下图为 C=100 的情况：

非线性边界的 SVM 分类器（内核方法）

多项式内核

• 在变量 $x_1,x_2$ 使用 2 阶多项式内核，就需要计算这些单项式：$x_1,x_2,x_1^2,x_1{x}_2,x_2^2$，然后尝试把它们线性组合起来，比如通过检查发现这是一个有效的分类器公式：$x_1^2+x_2^2=1$
• 这相当于将二维平面映射到一个五维平面，即点 $(x_1,x_2)$ 到点 $(x_1,x_2,x_1^2,x_1{x}_2,x_2^2)$ 的映射
• 类似地，在变量 $x_1,x_2$ 使用 3 阶多项式内核，就需要计算这些单项式：$x_1,x_2,x_1^2,x_1{x}_2,x_2^2,x_1^3,x_1^2{x}_2,x_1{x}_2^2,x_2^3$，然后尝试把它们线性组合起来，通过检查发现一个有效的分类器公式

代码如下：

svm_degree_2 = SVC(kernel='poly', degree=2)
svm_degree_2.fit(features, labels)
print("[Degree=2] Accuracy=", svm_degree_2.score(features, labels))

svm_degree_4 = SVC(kernel='poly', degree=4)
svm_degree_4.fit(features, labels)
print("[Degree=4] Accuracy=", svm_degree_4.score(features, labels))

当分类器为 2 阶多项式的运行结果：

当分类器为 4 阶多项式的运行结果：

径向基函数（RBF）内核

径向基函数：

• 当变量只有一个时，最简单的径向基函数为 $y=e^{-x^2}$，此函数看起来像标准正态分布，函数凸起处为 $x=0$
• 当变量有 2 个时，最简单的径向基函数为 $z=e^{-(x^2+y^2)}$，此函数看起来像标准正态分布，函数凸起处为 $(0,0)$
• 当变量有 $n$ 个时，基本径向基函数为 $y=e^{-(x_1^2+...+x_n^2)}$，$n$ 维凸点以 0 为中心
• 若希望以点 $(p_1,...,p_n)$ 为中心凸起，则基本径向基函数为 $y=e^{-[(x_1-p_1{)}^2+...+(x_n-p_n{)}^2]}$
• 添加 $\gamma$ 参数：$y=e^{-\gamma [(x_1-p_1{)}^2+...+(x_n-p_n{)}^2]}$，用于控制拟合程度（形象理解，即调整凸起程度）
  • 当 $\gamma$ 值非常小时，模型会欠拟合
  • 当 $\gamma$ 值非常大时，模型会严重过拟合，合适的 $\gamma$ 值非常重要

相似度公式：

• 对于点 $p$ 和点 $q$，$相似度(p,q)=e^{-距离(p,q{)}^2}$
• 一维数据集中，点 $x_1$ 和点 $x_2$ 的相似度为 $e^{-(x_1-x_2{)}^2}$
• 二维数据集中，点 $A(x_1,y_1)$ 和点 $B(x_2,y_2)$ 的相似度为 $e^{-[(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2]}$
• 若该数据集有 $n$ 个数据点，则应计算 $n^2$ 个相似度；每个点到自身的相似度一定为 1；距离越近，相似度越高

有了相似度公式，就可以定义分类器了。假设数据集有 $n$ 个数据点 $X_i$，每个点对应标签 $L_i$（取值为 0 或 1），则对于点 $X$ 的分类预测如下：

$$\hat{y}=step[\sum _{i=1}^n(-1{)}^{L_i-1}\cdot e^{-距离(X,X_i{)}^2}]$$

形象理解：这相当于在一个二维平面上，为标记为 0 的点添加了一个“山谷”，为标记为 1 的点添加了一个“山峰”。对每个点都如此操作，最后使用阈值 0 画出一个“海岸线”，这就是最后的分类边界（boundary）。

代码如下：

svm_gamma_01 = SVC(kernel='rbf', gamma=0.1)
svm_gamma_01.fit(features, labels)
print("[Gamma=0.1] Accuracy=", svm_gamma_01.score(features, labels))

svm_gamma_1 = SVC(kernel='rbf', gamma=1)
svm_gamma_1.fit(features, labels)
print("[Gamma=1] Accuracy=", svm_gamma_1.score(features, labels))


svm_gamma_10 = SVC(kernel='rbf', gamma=10)
svm_gamma_10.fit(features, labels)
print("[Gamma=10] Accuracy=", svm_gamma_10.score(features, labels))


svm_gamma_100 = SVC(kernel='rbf', gamma=100)
svm_gamma_100.fit(features, labels)
print("[Gamma=100] Accuracy=", svm_gamma_100.score(features, labels))

$\gamma =0.1$ 时的运行结果：

$\gamma =1$ 时的运行结果：

$\gamma =10$ 时的运行结果：

$\gamma =100$ 时的运行结果：