数值方法简述

        令许多纯数学家烦恼的是，并非所有问题都能通过解析方法解决，也就是说，不能通过使用已知规则和逻辑来获得精确解的方法。 这时就需要使用数值方法。 数值方法将近似解，或者在最坏的情况下，将解限制在某个范围内。

数值方法，简单来说，就是用近似计算来解决无法用解析方法直接求解的数学问题。

         打个比方，你想要算一个非常复杂的方程的解，但是这个方程没有现成的公式可以套用。这时候，数值方法就派上用场了。

        数值方法的思路，可以概括为以下几个步骤：

        1、离散化: 将连续的问题转化为离散的点或网格。例如，将一个曲线用一系列离散的点来近似表示。

        2、近似: 用已知的简单公式或算法来近似地表示原问题。例如，用直线段来近似地表示曲线（这个比喻可能不恰当，表示这个意思）。

        3、迭代: 通过重复计算，不断提高近似解的精度。

        具体来说，数值方法包含很多种，每种方法都有其独特的优势和局限性。常见的数值方法包括：

• 差分法: 将微分方程用差分方程近似代替，然后用迭代法求解。

• 有限元法: 将连续的区域划分为有限个单元，然后用插值函数来近似地表示原问题。

• 蒙特卡洛方法: 利用随机数来模拟和计算，并通过大量随机样本的统计结果来逼近真实解。

        数值方法的核心思想就是用近似的计算来解决无法用解析方法直接求解的问题。

        它在很多领域都有广泛的应用，例如：

• 科学计算: 解决各种物理、化学、生物等领域的复杂问题。

• 工程设计: 设计桥梁、飞机等结构，模拟各种物理现象。

• 金融建模: 分析市场趋势、进行风险评估。

数值方法和神经网络

        数值方法和神经网络的训练在某些方面确实有很强的相似性。

        数值方法和神经网络训练都通过迭代的方式不断优化模型参数，以逼近问题的真实解。两者都使用优化算法来寻找最优解。常见的有梯度下降法，随机梯度下降法等。它们都需要定义一个目标函数，用来衡量模型的性能。数值方法的目标函数通常是误差函数，而神经网络的目标函数通常是损失函数。通过优化算法，根据目标函数的梯度信息，不断更新模型参数，使目标函数的值最小化。

        在数值方法中，求解微分方程的差分法，就是用迭代的方法来不断更新解的数值，最终得到一个近似解。在神经网络训练中，通过反向传播算法来计算损失函数的梯度，并根据梯度信息更新网络的权重，最终使网络能够准确地进行预测。

        但是数值方法主要用于求解数学问题，而神经网络则是用于模拟人类大脑的学习过程，学习复杂的数据模式。数值方法通常使用相对简单的模型，而神经网络可以构建非常复杂的模型，包含大量的参数。数值方法应用于科学计算、工程设计等领域，而神经网络则应用于图像识别、语音识别、自然语言处理等领域。

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有趣的数学 数值求解微分方程一-CSDN博客数值方法，简单来说，就是用来解决直接求解的数学问题。通过有限差分方法对微分方程 (DE) 进行数值求解。通过求解微分方程，我们可以对动力系统进行模拟并对世界进行预测。一种称为物理信息神经网络（PINN）的新型神经网络，这是传统科学计算和现代机器学习融合的新兴领域。它还有其他几个名称，例如科学机器学习或基于物理的深度学习。它基本上包括使用神经网络求解微分方程。思路大概是由于神经网络是通用函数逼近器，因此它们可以用于求解任何函数。因此，通过对损失函数进行小的调整，它们也可以用于求解描述自然定律的微分方程。https://blog.csdn.net/bashendixie5/article/details/134977666