213. 打家劫舍 IIhttps://leetcode.cn/problems/house-robber-ii/description/

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都围成一圈，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你在不触动警报装置的情况下，今晚能够偷窃到的最高金额。

1. 输入：nums = [2,3,2]，输出：3，解释：你不能先偷窃1号房屋（金额 = 2），然后偷窃3号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。
2. 输入：nums = [1,2,3,1]，输出：4，解释：你可以先偷窃1号房屋（金额 = 1），然后偷窃3号房屋（金额 = 3）。偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4。
3. 输入：nums = [1,2,3]，输出：3。

提示：1 <= nums.length <= 100，0 <= nums[i] <= 1000。

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本题在打家劫舍问题的基础上，加上了首尾相连的条件。解决本题的关键在于如何处理首尾相连的条件。假设有n个房屋。这里，我们根据偷不偷0位置的房屋，进行分类讨论：

• 如果偷了0位置的房屋，那么就不能偷1位置和n - 1位置的房屋，此时问题转换为：房屋区间为[2, n - 2]的不含首位相连条件的打家劫舍问题。
• 如果不偷0位置的房屋，此时问题转换为：房屋区间为[1, n - 1]的不含首位相连条件的打家劫舍问题。

而最终的结果，应该是这两种情况的较大值。好了，此时我们只需要解决不含首尾相连条件的打家劫舍问题。我们用动态规划的思想来解决这个问题，以下的讨论都不含首尾相连的条件。

确定状态表示：根据经验和题目要求，我们用dp[i]表示，考虑完i位置的房屋后，此时能偷到的最高金额。这又细分为：

• 用f[i]表示：必须偷i位置的房屋，此时能偷到的最高金额。
• 用g[i]表示：不能偷i位置的房屋，此时能偷到的最高金额。

推导状态转移方程：我们分别考虑2种情况中最近的一步，即是否偷i - 1位置的房屋。

• 考虑f[i]，由于必须偷i位置的房屋，所以不能偷i - 1位置的房屋。偷完i位置的房屋之后，能偷到的最高金额，就等于不能偷i - 1位置的房屋之后能偷到的最高金额加上i位置的房屋的金额，即f[i] = g[i - 1] + nums[i]。
• 考虑g[i]，由于不能偷i位置的金额，所以此时能偷到的最高金额就等于考虑完i - 1位置的房屋后能偷到的最高金额。由于不确定是否偷i - 1位置的房屋，所以结果是偷或者不偷i - 1位置的房屋这2种情况中，能偷到的最高金额的较大值，即g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1])。

综上所述，f[i] = g[i - 1] + nums[i]，g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1])。

初始化：根据状态转移方程，在填写f[0]和g[0]时，会发生越界访问，所以要对其初始化。

• 如果必须偷0位置的房屋，那么此时能偷到的最高金额就是0位置的房屋的金额，即f[0] = nums[0]。
• 如果不能偷0位置的房屋，那么此时能偷到的最高金额就是0，即g[0] = 0。

综上所述：f[0] = nums[0]，g[0] = 0。

填表顺序：根据状态转移方程，f[i]依赖于g[i - 1]，g[i]依赖于f[i - 1]和g[i - 1]，所以应从左往右同时填f表和g表。

返回值：我们要求的是考虑完n - 1位置的房屋后，此时能偷到的最高金额，由于并不确定是否偷n - 1位置的房屋，所以结果是偷或者不偷n - 1位置的房屋这2种情况中，能偷到的最高金额的较大值，即max(f[n - 1], g[n - 1])。

细节问题：回归题目本身。假设对于没有首尾相连条件的打家劫舍问题中，房屋区间是[left, right]，能偷到的最高金额是rob(nums, left, right)。那么，最终的结果就是文章开头提到的2种情况的较大值，即max(nums[0] + rob(nums, 2, n - 2), rob(nums, 1, n - 1))。注意到下标几乎覆盖了整个nums数组，所以为了简单起见，我们把dp表的规模设置成和nums相同，即1 x n。此时，应初始化f[left] = nums[left]，g[left] = 0，填表时应从left + 1位置开始一直填到right位置，最终应该返回max(f[right], g[right])。

时间复杂度：O(N)，空间复杂度：O(N)。

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();

        // 偷或者不偷0位置的房屋，这2种情况的较大值
        return max(nums[0] + rob(nums, 2, n - 2), rob(nums, 1, n - 1));
    }

private:
    // 不含首尾相连条件的打家劫舍问题，房屋区间为[left, right]
    int rob(vector<int>& nums, int left, int right) {
        // 区间不存在
        if (left > right) {
            return 0;
        }

        int n = nums.size();

        // 创建dp表
        vector<int> f(n);
        auto g = f;

        // 初始化
        f[left] = nums[left];

        // 填表
        for (int i = left + 1; i <= right; i++) {
            f[i] = g[i - 1] + nums[i];
            g[i] = max(f[i - 1], g[i - 1]);
        }

        // 返回结果
        return max(f[right], g[right]);
    }
};