知乎三角猫frank对于这块内容写的非常好，但这个输入的构造还是很难过于没头没尾
数学好的人，可能看一眼根据形式就能推出gramian的构造，但对我这种比较钻牛角尖的人，我就想有一个逻辑链条——gramian是怎么被构造出来的？

我们回到问题本身，就以能控性为例子(和上面的rechability不太一样)

这里的$x(0)$是任意一个n维的向量 我们想找一个条件,让这个等式成立
也就是找一个可控的充分条件
显然我们只能从$u(\tau )$下手,通过构造适当的$u(\tau )$,让系统能够回到零状态,也就是能控

对于控制输入,我们知道自动控制里 要么是开环 要么是闭环

对于一般的系统,我们先尝试用状态反馈进行闭环控制
如果是闭环,那么控制输入$u_{m\times 1}$应该长成这样

$$u(\tau )=u(\tau ,x)=u(\tau ,x(\tau ))$$

因此状态反馈的输入可以尝试用
$$u(\tau )=-Ax(\tau )$$

或者
$$u(\tau )=-e^{A\tau }x(\tau )$$

但是这样维数对不上, $u(\tau )=-Ax(\tau )$ 是 $n\times 1$的向量

因此你可能会想引入$B_{n\times m}$
让输入变成一个$m\times 1$的向量
也就是
$$u(\tau )=-B^{\ast }Ax(\tau )$$
或者
$$u(\tau )=-B^{\ast }{e}^{A\tau }x(\tau )$$

既然你都转置了一个,那不如就
$$u(\tau )=-B^{\ast }{A}^{\ast }x(\tau )$$
或者
$$u(\tau )=-B^{\ast }{e}^{A^{\ast }\tau }x(\tau )$$

那干脆就用$u(\tau )=-B^{\ast }{e}^{A^{\ast }\tau }x(\tau )$
$$x(0)=\int e^{-A\tau }B{B}^{\ast }{e}^{A^{\ast }\tau }x(\tau )d\tau$$

为了对称,不如写成
$$x(0)=\int e^{-A\tau }B{B}^{\ast }{e}^{-A^{\ast }\tau }x(\tau )d\tau$$
但这样有一个问题,你从这里的不出任何有用的结果

但如果视为开环控制 把$x(\tau )$视为一个常向量$y$
$$x(0)=\int e^{-A\tau }B{B}^{\ast }{e}^{-A^{\ast }\tau }yd\tau =[\int e^{-A\tau }B{B}^{\ast }{e}^{-A^{\ast }\tau }d\tau ]y$$

由于$y$是任取的,那我们现在就得到了一个充分条件(注意 必要性还得不到)

即如果$W=\int e^{-A\tau }B{B}^{\ast }{e}^{-A^{\ast }\tau }d\tau$是一个非奇异矩阵($n\times n$)
则系统可控

为什么叫它格拉姆矩阵
因为一般格拉姆矩阵就是长这个样子 先内积再积分
这个只是一个特定的格拉姆矩阵形式

ok,那么你得到了充分性条件,而这个条件的必要性竟然很容易验证
怎么验证呢…显然最常用的手段就是反证法(一般验证充分条件必要性的方法)
就是说,你假设可控,但这个你构造出来的格拉姆矩阵是奇异的,然后会导致矛盾,具体的就不说了,大家可以自己证明.
然后你发现真的矛盾,也就是说

你偶然间发现了一个可控性的充要条件,一篇TAC到手