递增子序列
491. 非递减子序列 - 力扣（LeetCode）
非递减子序列，则答案的子集中，需保持下一个元素大于等于前一个元素的顺序，由于题目中指出，所有的子序列长度需大于等于2，考虑当条件为path.size()>1时，进行收获结果，且需要注意，这时不应该直接return，因为后续仍有可能存在子序列长度大于2的结果，仍需要继续遍历。此时结束的标志是单层遍历的结束。
如果只按照上述向下运行，没有完成子序列的去重操作，为了完成子序列的去重以及保证下一个元素大于当前元素才加入数组，考虑加入一个set，在对当前层进行遍历时，若该元素没有使用过，将其加入set，若该元素大于path的末尾元素，将其加入path。之后继续回溯，回溯完成后复原path。具体思路参考代码随想录。
代码随想录 (programmercarl.com)
https://programmercarl.com/0491.%E9%80%92%E5%A2%9E%E5%AD%90%E5%BA%8F%E5%88%97.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE
class Solution {
public:
vector<int> path; // 存储当前递增子序列
vector<vector<int>> paths; // 存储所有不同的递增子序列
void backtracking(vector<int>& nums, int start) {
if (path.size() >= 2) {
paths.push_back(path); // 将满足条件的子序列添加到结果中
}
unordered_set<int> uset; // 用于去重
for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {
if ((!path.empty() && nums[i] < path.back()) || uset.find(nums[i]) != uset.end()) {
continue; // 跳过不满足条件的元素
}
uset.insert(nums[i]);
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1); // 递归搜索下一个元素
path.pop_back(); // 回溯，移除当前元素
}
}
vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
backtracking(nums, 0); // 从第一个元素开始搜索
return paths;
}
};
回溯法寻找递增子序列的过程，在最差情况下需要遍历所有可能的子序列，每个元素都有可能存在或者不存在与子序列中，所以算法的时间复杂度为O(2^n)，就空间复杂度来说，使用了哈希集合来检查是否已经包含了某个元素，使用了一个辅助的path来存储当前的子序列，在递归的过程中，path和uset都会不断改变，但最大的情况为递归的最深处，此时应有n层，因此空间复杂度为O(n)。
全排列
46. 全排列 - 力扣（LeetCode）
思路：从数组的第一个元素开始，逐步构建排列，对于每个位置，将不同的数字放在该位置上，然后递归地处理下一个位置。若当前位置已经包含了某元素，则我们要跳过它，选择其他数字，条件为
if (find(path.begin(), path.end(), nums[i]) == path.end()) 治理find函数返回的迭代器等于path.end(),说明nums[i]不在path中，即当前数字还没有被使用过。
当排列的长度等于数组的长度时，收获为一个有效的排列。
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path); // 当排列长度等于数组长度时，保存该排列
return;
}整体代码如下。
class Solution {
public:
vector<int> path; // 保存当前排列
vector<vector<int>> result; // 保存所有不同的排列
void backtracking(vector<int>& nums, int start) {
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path); // 当排列长度等于数组长度时，保存该排列
return;
}
for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
if (find(path.begin(), path.end(), nums[i]) == path.end()) {
// 如果当前数字不在排列中，将其添加到排列中
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1); // 递归搜索下一个位置
path.pop_back(); // 回溯，移除当前数字
}
}
}
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
backtracking(nums, 0); // 从第一个位置开始搜索
return result;
}
};排列的时间复杂度为O(n!)，每个位置，都可以选择不同的数字。
空间复杂度为O(n)。
全排列II
47. 全排列 II - 力扣（LeetCode）
错误代码，使用了start
class Solution {
public:
vector<int> path; // 保存当前排列
vector<vector<int>> result; // 保存所有不同的排列
void backtracking(vector<int>& nums, int start) {
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path); // 当排列长度等于数组长度时，保存该排列
return;
}
for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
if(start > 0 and nums[i]== nums[i - 1]){
continue;
}
path.push_back(nums[i]);
backtracking(nums, i + 1); // 递归搜索下一个位置
path.pop_back(); // 回溯，移除当前数字
}
}
vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
sort(nums.begin(), nums.end()); // 首先排序，以便去除重复排列
backtracking(nums, 0);
return result;
}
};正确代码
class Solution {
public:
vector<int> path; // 保存当前排列
vector<vector<int>> result; // 保存所有不同的排列
void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used, int start) {
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path); // 当排列长度等于数组长度时，保存它
return;
}
for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && !used[i - 1]) {
continue; // 跳过重复的元素
}
if (!used[i]) {
path.push_back(nums[i]);
used[i] = true;
backtracking(nums, used, i + 1); // 递归搜索下一个位置
path.pop_back(); // 回溯，移除当前数字
used[i] = false;
}
}
}
vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
sort(nums.begin(), nums.end()); // 首先排序，以便去除重复排列
vector<bool> used(nums.size(), false); // 初始化 used 数组
backtracking(nums, used, 0);
return result;
}
};
start可有可无
算法的时间复杂度为O(n!)，空间复杂度为O(n)，同上。
