198.打家劫舍
当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。
动规五部曲
1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i]。
2.确定递推公式
决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。
如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。
如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考 虑i-1房，（注意这里是考虑，并不是一定要偷i-1房，这是很多同学容易混淆的点）
然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
3.dp数组如何初始化
从递推公式dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);可以看出，递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]
从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
4.确定遍历顺序
dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！
5.举例推导dp数组
示例，输入[2,7,9,3,1]为例。
代码
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
if (nums.length == 1) return nums[0];
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1]);
for (int i = 2; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
return dp[nums.length - 1];
}
}213.打家劫舍II
思路：将成环的问题“展开”为线性问题
这道题目和198.打家劫舍 (opens new window)是差不多的，唯一区别就是成环了。
对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
- 情况一：考虑不包含首尾元素
- 情况二：考虑包含首元素，不包含尾元素（考虑并不是要取）
- 情况三：考虑包含尾元素，不包含首元素
注意这里用的是"考虑"，例如情况三，虽然是考虑包含尾元素，但不一定要选尾部元素！ 对于情况三，取nums[1] 和 nums[3]就是最大的。
情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。
代码
class Solution {
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0)
return 0;
int len = nums.length;
if (len == 1) return nums[0];
return Math.max(robAction(Arrays.copyOfRange(nums, 0, nums.length - 1)),
robAction(Arrays.copyOfRange(nums, 1, nums.length)));
}
public int robAction(int[] nums) {
if (nums.length == 1) {
return nums[0];
}
if (nums.length == 2) {
return Math.max(nums[0], nums[1]);
}
int length = nums.length;
int[] dp = new int[length];
dp[0] = nums[0];
dp[1] = Math.max(nums[0], nums[1]);
for (int i = 2; i < length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
}
return dp[length - 1];
}
}337.打家劫舍III
对于树的话，首先就要想到遍历方式，前中后序（深度优先搜索）还是层序遍历（广度优先搜索）。
本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。
如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子（注意这里说的是“考虑”）
动态规划
动态规划其实就是使用状态转移容器来记录状态的变化，这里可以使用一个长度为2的数组，记录当前节点偷与不偷所得到的的最大金钱。
这道题目算是树形dp的入门题目，因为是在树上进行状态转移，我们在讲解二叉树的时候说过递归三部曲，那么下面以递归三部曲为框架，其中融合动规五部曲的内容来进行讲解。
1.确定递归函数的参数和返回值
这里我们要求一个节点 偷与不偷的两个状态所得到的金钱，那么返回值就是一个长度为2的数组。其实这里的返回数组就是dp数组。
所以dp数组（dp table）以及下标的含义：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。dp数组就是一个长度为2的数组！
长度为2的数组怎么标记树中每个节点的状态呢？
别忘了在递归的过程中，系统栈会保存每一层递归的参数。（每一层都会创建）
2.确定终止条件
在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回，这也相当于dp数组的初始化
3.确定遍历顺序
首先明确的是使用后序遍历。 因为要通过递归函数的返回值来做下一步计算。
通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱。
通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
4.确定单层递归的逻辑
如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0]; （left,right就为dp数组）
如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);
5.举例推导dp数组
dp数组状态如下：（注意用后序遍历的方式推导）
最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。
代码
class Solution {
// 状态标记递归
// 不偷：Max(左孩子不偷，左孩子偷) + Max(右孩子不偷，右孩子偷)
// 偷：左孩子不偷+ 右孩子不偷 + 当前节点偷
public int rob(TreeNode root) {
int[] res = robAction1(root);
return Math.max(res[0], res[1]);
}
int[] robAction1(TreeNode root) {
int res[] = new int[2];
if (root == null)
return res;
int[] left = robAction1(root.left);
int[] right = robAction1(root.right);
res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]);
res[1] = root.val + left[0] + right[0];
return res;
}
}
