Transformer学习(2)

这是Transformer的第二篇文章，上篇文章中我们了解了分词算法BPE，本文我们继续了解Transformer中的位置编码和核心模块——多头注意力。下篇文章就可以实现完整的Transformer架构。

位置编码

我们首先根据BPE算法得到文本切分后的子词标记，然后经过输入嵌入层将每个标记转换为对应的向量表示，但Transformer不再基于类似RNN循环的方式，而是可以一次为所有的标记进行建模，因此丢失了输入中单词之间的相对位置关系。

在真正喂给Transformer模型之前，一个重要的操作是为嵌入向量表示增加位置表示，即位置编码。位置编码可以通过学习得到也可以通过固定设置，这里介绍Transformer原始论文中使用的基于正弦函数和余弦函数的固定位置编码。

一个好的位置编码应该具有以下性质：

1. 每个时间步(位置)的编码应该唯一；
2. 任意两个时间步的距离应该与句子长度无关；
3. 取值应该是有界的；
我们从这几个方面来分析下Transformer中使用的位置编码：
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其中pos表示标记所在的位置，假设取值从0~100；i代表维度，即位置编码的每个维度对应一个波长不同的正弦或余弦波，波长从2 π到10000 ⋅ 2 π成等比数列；d表示位置编码的最大维度，和词嵌入的维度相同，假设是512；

这里假设最长时间步(位置)为100，每个位置的编码都是一个512维度的向量。我们先来回顾下常规正余弦函数sin ⁡ ( x )和cos ⁡ ( x )的图像：
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正余弦函数的图像如上图所示，显然它的取值是有界的，取值范围在[-1,+1]。但Transformer用的正弦函数的波长不同。
对于每个位置，由于我们有512个维度，因此我们有256对正弦值和余弦值，i的取值在[0,255]。假设考虑所有维度，计算位置pos处的位置编码向量每个元素(维度)的值：
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对于位置0的编码为：

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是一个交替0和1的向量；

对于位置1的编码为：

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波长就是一个周期的距离，波长越长，走过一个周期越缓慢。单纯看这些数字没有意义，下面尝试可视化它们。

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上图分别表示位置pos从0到512的过程中，不同波长的函数图像。上图左表示维度0波长2 π的图像，可以看到在0到1之间疯狂地变化；而上图右对应10000 ⋅ 2 π的波长，从0变化到0.06，波动非常小。
从这里我们可知满足了性质1和3，性质3好理解，取值在[-1,1]之间，是有界的。如果理解满足性质1呢？
假设我们想用二进制格式表示一个数字：
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我们通过4位就可以表示最多到十进制15，我们可以发现不同位之间的变化率，第0位(红色)在每个数字上交替变化；第1位(蓝色)在每两个数字上重复；最高位(橙色)每八个数字上变化一次。
而Transformer不同波长(频率)的正余弦，所达到的效果是类似的。
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或者可以理解为时钟上的指针(对应3个维度)，波长(频率)对应指针的转速，秒针转速最快，就是第0位；时针转速最慢就是最高一位。在最高一位的周期内是不会重复的。所以性质3满足。

我们来看性质2，其实意思就是可以体现相对位置关系，pos + k的位置编码可以被位置pos \text{pos}pos(?)线性表示。这里需要用到三角函数公式：
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对于pos + k的位置编码：

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根据式( 3 )和( 4 )整理上式有：

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这也是为什么作者要交替使用正余弦函数，而不仅仅使用其中一个。???

pos处的位置嵌入可以表示为：

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参考文章4给出位置之间内积的关系：

可以看到内积会随着相对位置的递增而减少，从而可以表示位置的相对距离。内积的结果是对称的，所以没有方向信息。

最后得到的位置编码需要和标记的词嵌入向量进行相加。
引用邱锡鹏老师关于问题为什么 Bert 的三个 Embedding 可以进行相加？的分析，来理解一下为什么可以相加。
文本可以看成是时序信号，一个时序的波可以用多个不同频率的正弦波叠加来表示，可能在神经网络中得到解耦，可能也不需要解耦。不管怎么，我们为词嵌入赋予了位置信息。下面先贴出代码实现：

class PositionalEncoding(nn.Module):
    def __int__(
        self, d_model: int = 512, dropout: float = 0.1, max_positions: int = 5000
    ) -> None:
        super().__init__()
        self.dropout = nn.Dropout(p=dropout)
        # pe (max_positions, d_model)
        pe = torch.zeros(max_positions, d_model)
        # position (max_positions, 1)
        # create position column
        position = torch.arange(0, max_positions).unsqueeze(1)
        # div_term(d_model/2)
        # calculate the divisor for positional encoding
        div_term = torch.exp(
            torch.arange(0, d_model, 2) * -(math.log(10000.0) / d_model)
        )

        #calculate sine values on even indices
        #position * div_term will be broadcast to (max_positions, d_model/2)
        pe[:, 0::2] = torch.sin(position * div_term)
        #calculate cosine values on odd indices
        pe[:, 1::2] = torch.cos(position * div_term)
        #add a batch dimension: pe (1, max_positions, d_model)
        pe = pe.unsqueeze(0)
        #buffers will not be trained
        self.register_buffer("pe", pe)

    def forward(self, x: Tensor) -> Tensor:
        """
        Args:
            x (Tensor): (batch_size, seq_len, d_model)embeddings

        Returns:
            Tensor: (batch_size, seq_len, d_model)
        """

        #x.size(1) is the max sequence length
        x = x + self.pe[:, : x.size(1)]
        return self.dropout(x)

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最后一项就是代码的实现形式，14行代码得到一个d_model/2维度的行向量；position被定义成一个max_len维度的列向量，position * div_term会被广播成(max_len, d_model/2)。

然后根据公式(1)和(2)，分别为偶数和奇数维度赋值正余弦项；最后扩充pe的维度使得维度个数和输入一致。

最后通过register_buffer将计算出来的pe保存成模型的buffer而不是parameter，buffer的特点就是不需要更新。

多头注意力

自注意力

首先回顾下注意力机制，注意力机制允许模型为序列中不同的元素分配不同的权重。而自注意力中的"自"表示输入序列中的输入相互之间的注意力，即通过某种方式计算输入序列每个位置相互之间的相关性。

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缩放点积注意力

从文章注意力机制中我们知道有很多种计算注意力的方式，最高效的是点积注意力，即两个输入之间做点积。
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这种计算注意力的方式和我们在seq2seq中遇到的不同，seq2seq是用解码器的隐状态与编码器所有时刻的输出计算，而自注意力是输入自己与自己进行计算。参与计算的只是输入本身。
但Transformer使用的是更加复杂一点的计算方式，来捕获更加丰富的信息。

在Transformer计算注意力的过程中，每个输入扮演了三种不同角色：

1. Query: 与所有的输入进行比较，为当前关注的点。
2. Key：作为与Query进行比较的角色，用于计算和Query之间的相关性。
3. Value：用于计算当前注意力关注点的输出，根据注意力权重对不同的Value进行加权和。
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如果把注意力过程类比成搜索的话，那么假设在百度中输入"自然语言处理是什么"，那么Query就是这个搜索的语句；Key相当于检索到的网页的标题；Value就是网页的内容。

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Query和Key是用于比较的，Value是用于提取特征的。通过将输入映射到不同的角色，使模型具有更强的学习能力。

计算自注意力的第一步就是，为编码器层的每个输入，都创建三个向量，分别是query向量，key向量和value向量。正如我们上面所说，每个向量都是乘上一个权重矩阵得到的，这些权重矩阵是随模型一起训练的。进行线性映射的目的是转换向量的维度，转换成一个更小的维度。原文中是将512维转换为64 6464维。
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第二步是计算注意力得分，假设我们想计算单词“Thinking”的注意力得分，我们需要对输入序列中的所有单词(包括自身)都进行某个操作。得到单词“Thinking”对于输入序列中每个单词的注意力得分，如果某个位置的得分越大，那么在生成编码时就越需要考虑这个位置。或者说注意力就是衡量q和k的相关性，相关性越大，那么在得到最终输出时，k对应的v在生成输出时贡献也越大。
那么这里所说的操作是什么呢？其实很简单，就是点乘。表示两个向量在多大程度上指向同一方向。类似余弦相似度，除了没有对向量的模进行归一化。
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第三步和第四步是进行进行缩放，然后经过softmax函数，使得每个得分都是正的，且总和为1。

经过Softmax之后的值就可以看成是一个权重了，也称为注意力权重。决定每个单词在生成这个位置的编码时能够共享多大程度。

第五步用每个单词的value向量乘上对应的注意力权重。这一步用于保存我们想要注意单词的信息(给定一个很大的权重)，而抑制我们不关心的单词信息(给定一个很小的权重)。

==第六步累加第五步的结果，得到一个新的向量，也就是自注意力层在这个位置(这里是对于第一个单词“Thinking”来说)的输出。==举一个极端的例子，假设某个单词的权重非常大，比如是1，其他单词都是0，那么这一步的输出就是该单词对应的value向量。
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这就是计算第一个单词的自注意力输出完整过程。自注意力层的魅力在于，计算所有单词的输出可以通过矩阵运算一次完成。

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多头注意力

上面介绍的缩放点积注意力把原始的x映射到不同的空间后，去做注意力。每次映射相当于是在特定空间中去建模特定的语义交互关系，类似卷积中的多通道可以得到多个特征图，那么多个注意力可以得到多个不同方面的语义交互关系。可以让模型更好地关注到不同位置的信息，捕捉到输入序列中不同依赖关系和语义信息。有助于处理长序列、解决语义消歧、句子表示等任务，提高模型的建模能力。
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得到这些多头注意力的组合以后，再把它们拼接起来，然后通过一个线性变化映射回原来的维度，保证输入和输出的维度一致。

class MultiHeadAttention(nn.Module):
    def __init__(
        self,
        d_model: int = 512,
        n_heads: int = 8,
        dropout: float = 0.1,
    ) -> None:
        """
        Args:
            d_model (int, optional): dimension of embeddings. Defaults to 512.
            n_heads (int, optional): number of self attention heads. Defaults to 8.
            dropout (float, optional): dropout ratio. Defaults to 0.1.
        """
        super().__init__()
        assert d_model % n_heads == 0
        self.d_model = d_model
        self.n_heads = n_heads
        self.d_keys = d_model // n_heads # dimension of every head

        self.q = nn.linear(d_model, d_model) # query matrix
        self.k = nn.linear(d_model, d_model) # key matrix
        self.v = nn.linear(d_model, d_model) # value matrix
        self.concat = nn.linear(d_model, d_model) #output
        
        self.dropout = nn.Dropout(dropout)

    def split_heads(self, x:Tensor, is_key:bool = False) -> Tensor:
        batch_size = x.size(0)
        # x(batch_size, seq_len, n_heads, d_key)
        x = x.view(batch_size, -1, self.n_heads, self.d_keys)
        if is_key:
            # (batch_size, n_heads, d_key, seq_len)
            return x.permute(0, 1, 2, 3)

        # (batch_size, n_heads, seq_len, d_key)
        return x.transpose(1, 2)

    def merge_heads(self, x:Tensor) -> Tensor:
        x = x.transpose(1, 2).contiguous().view(x.size(0), -1, self.d_model)

        return x

    def attention(
        self,
        query: Tensor,
        key: Tensor,
        value: Tensor,
        mask: Tensor = None,
        keep_attentions: bool = False,
    ):
        scores = torch.matmul(query, key) / math.sqrt(self.d_key)

        if mask is not None:
            # Fill those positions of product as -1e9 where mask positions are 0, because exp(-1e9) will get zero.
            # Note that we cannot set it to negative infinity, as there may be a situation where nagative infinity is divided by negative infinity.
            scores = scores.masked_fill(mask == 0, -1e9)

        # weights (batch_size, n_heads, q_length, k_length)
        weights = self.dropout(torch.softmax(scores, dim=-1))
        # (batch_size, n_heads, q_length, k_length)  x  (batch_size, n_heads, v_length, d_key) -> (batch_size, n_heads, q_length, d_key)
        # assert k_length == v_length
        # attn_ouput (batch_size, n_heads, q_length, d_key)
        attn_ouput = torch.matmul(weights, value)

        if keep_attentions:
            self.weights = weights
        else:
            del weights
        
        return attn_ouput
    
    def forward(
        self,
        query: Tensor,
        key: Tensor,
        value: Tensor,
        mask: Tensor = None,
        keep_attentions: bool = False,
    ) -> Tuple[Tensor, Tensor]:
        
        """

        Args:
            query(Tensor): (batch_size, q_length, d_model)
            key(Tensor): (batch_size, k_length, d_model)
            value(Tensor): (batch_size, v_length, d_model)
            mask(Tensor, optional): mask for padding or decoder. Defaults to None.
            keep_attentions(bool): whether keep attention weigths or not. Defaults to Flase.

        Returns:
            output(Tensor): (batch_size, q_length, d_model) attention output
        
        """
        query, key, value = self.q(query), self.k(key), self.v(value)
        query, key, value =(
            self.split_heads(query),
            self.split_heads(key, is_key=True)
            self.split_heads(value),
        )

        attn_output = self.attention(query, key, value, mask, keep_attentions)
        
        del query
        del key
        del value

        # Concat
        concat_output = self.merge_heads(attn_output)
        # the final linear
        # output (batch_szie, q_length, d_model)
        output = self.concat(concat_output)

        return output

在forward()中，首先利用三个线性变换分别计算query,key,value矩阵(后续文章GPT实现中可以看到这个三个线性编变换也可以合并成一个)。接着拆分成多个头，传给attention()计算多头注意力，通过keep_attentions参数可以指定是否保存注意力权重，后续可以进行观察。然后合并多头注意力的结果。最后经过一个用作拼接的线性层。

注意力这里的拆分和合并其实都是reshape操作，在代码的最后删除掉不需要的引用，以帮助GC释放GPU缓存。