每日一题——Python实现PAT甲级1046 Shortest Distance（举一反三+思想解读+逐步优化）

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Python-3.12.0文档解读

我的写法

专业点评

优点

改进建议

时间复杂度分析

空间复杂度分析

总结

我要更强

方法一：优化空间复杂度（保留前缀和）

方法二：直接使用距离数组进行查询

代码优化解释

时间和空间复杂度分析

总结

哲学和编程思想

编程思想和哲学

总结

举一反三

1. 空间换时间

2. 时间换空间

3. 贪心思想

4. 分治思想

5. 动态规划

举一反三的技巧

https://pintia.cn/problem-sets/994805342720868352/exam/problems/type/7?problemSetProblemId=994805435700199424&page=0

我的写法

# 从输入中读取一行，将其拆分为整数，并存储在 distances 列表中
distances = list(map(int, input().split()))

# 第一个元素是 N，表示接下来行程的数目
N = distances[0]

# 剩下的元素是各段行程的距离
distances = distances[1:]

# 从输入中读取 M，表示要处理的查询次数
M = int(input())

# 创建一个前缀和数组，用于存储从起点到各位置的累计距离
prefix_sum = [0] * (N + 1)

# 计算前缀和数组
for i in range(1, N + 1):
    # prefix_sum[i] 表示从起点到第 i 段行程结束的累计距离
    prefix_sum[i] = prefix_sum[i - 1] + distances[i - 1]

# 总的环形路径的距离
total_distance = prefix_sum[N]

# 处理每个查询
for i in range(M):
    # 读取查询的两个点 a 和 b
    a, b = map(int, input().split())
    
    # 确保 a 小于 b，如果不是则交换 a 和 b
    if a > b:
        a, b = b, a
    
    # 计算从 a 到 b 的路径距离
    distance1 = prefix_sum[b - 1] - prefix_sum[a - 1]
    
    # 计算从 b 到 a（绕过环的另一边）的路径距离
    distance2 = total_distance - distance1
    
    # 输出较短的路径距离
    print(min(distance1, distance2))

这段代码的功能是处理一个环形路径的查询问题，计算两个节点之间的最短距离。以下是对这段代码的点评，以及时间复杂度和空间复杂度的分析。

专业点评

优点

前缀和的使用：
- 通过前缀和数组 prefix_sum，可以在常数时间内计算任意两点之间的路径距离。这种方法有效地将路径长度查询的时间复杂度从线性降到常数。
处理环形路径：
- 计算两种可能的路径（顺时针和逆时针）并取最小值的方式，确保了找到两点间的最短路径。
输入处理：

代码通过 map 和 split 组合高效地读取并转换输入，符合常见的Python代码风格。

改进建议

输入验证：
- 没有对输入进行验证假设输入是正确的。可以增加对输入数据的合法性检查，确保输入值在合理范围内。
变量命名：

可以通过更具描述性的变量名（如 distance_clockwise 和 distance_counterclockwise）来提高代码的可读性。

时间复杂度分析

前缀和计算：
- 构建前缀和数组的时间复杂度为 O(N)，因为需要遍历距离数组一次。
查询处理：
- 每次查询的时间复杂度为 O(1)，因为计算路径距离和比较最小值的操作都是常数时间内完成的。
总体时间复杂度：

总体时间复杂度为 O(N+M)，其中 N 是距离数组的大小，M 是查询次数。

空间复杂度分析

前缀和数组：
- 需要一个大小为 N+1 的前缀和数组 prefix_sum，空间复杂度为 O(N)。
输入存储：
- distances 数组存储每段行程的距离，空间复杂度为 O(N)。
总体空间复杂度：

总的空间复杂度为 O(N)，因为额外使用的主要是 distances 和 prefix_sum 数组。

总结

这段代码使用前缀和技巧有效地解决了环形路径的最短距离查询问题，时间复杂度为 O(N+M)，空间复杂度为O(N)。整体实现高效、简洁，但可以通过增加输入验证和更清晰的变量命名进一步提高代码质量。

我要更强

在这个问题中，由于我们需要进行多次查询，而每次查询都需要计算两点之间的最短距离，前缀和的使用已经是一种非常高效的方案。进一步优化时间复杂度已经较为困难，因为查询已经是 O(1) 的时间复杂度。

然而，我们可以考虑优化空间复杂度，特别是当 N 非常大时。以下是几种可能的优化方法：

方法一：优化空间复杂度（保留前缀和）

尽管前缀和数组的空间复杂度是 O(N)，但它已经是当前任务的较优解。如果我们希望进一步减少空间消耗，可以考虑在查询中实时计算部分前缀和，而不是存储整个前缀和数组。然而，由于查询次数 M 通常大于路径段数 N，这种方法可能并不会带来实际的性能提升。

方法二：直接使用距离数组进行查询

如果我们不使用前缀和数组，而是直接从距离数组中计算路径长度，虽然会增加每次查询的时间复杂度，但可以节省空间。

下面是直接使用距离数组进行查询的代码示例：

# 读取输入
distances = list(map(int, input().split()))
N = distances[0]
distances = distances[1:]
M = int(input())

# 计算总距离
total_distance = sum(distances)

# 处理每个查询
for _ in range(M):
    a, b = map(int, input().split())
    if a > b:
        a, b = b, a
    
    # 计算从 a 到 b 的路径距离
    distance1 = sum(distances[a-1:b-1])
    
    # 计算从 b 到 a（绕过环的另一边）的路径距离
    distance2 = total_distance - distance1
    
    # 输出较短的路径距离
    print(min(distance1, distance2))

代码优化解释

输入读取和初始化：
- 读取并解析输入，distances 包含各段行程的距离。
总距离计算：
- 计算环形路径的总距离。
查询处理：

对每个查询，计算从 a 到 b 的两种路径距离，输出较小的值。