1 引言

时间过的真快呀，已经6月份了。距离上一篇文章发表，已经过去了将近一个月，要不是偶尔还有新关注的提醒，我可能都忘记提醒自己该继续学习和总结了。

看了一眼今年已经发表的文章数量，才5篇，很忧心自己原定的2024学习计划该如何完成。所以，为了对得起朋友们的陪伴和支持，为了保证后续学习计划的顺利推进，后续努力每2周更新一篇，底线是不超过3周更新一篇。

本篇回到不确定优化专题，继续研究报童模型。

此前在随机规划：求解报童问题期望值模型的算法方案中，已经详细研究了经典报童模型的求解方案，推导出了解析最优解。该模型虽然简单，但在实际场景问题中却大有用处，比如最近就在某个业务的技术分享会上，了解到其补货算法用的就是经典报童模型的求解算法。

显然，我们不能满足于经典报童问题的学习，毕竟还有很多更复杂的报童问题需要解决。幸运的是，学界已经针对经典报童问题的很多扩展类型进行了研究，并设计了对应的解决方案；不幸的是，我并没有那么多精力去逐一调研。所以我的研究思路是：先了解清楚有哪些已经被广泛研究的扩展模型，然后基于自己目前遇到的问题、匹配到对应的扩展模型，再详细研究这类扩展模型的求解算法。

本文先把第一项内容搞清楚：当前有哪些已经被广泛研究的基于经典报童模型的扩展问题。

2 经典报童模型

在调研扩展问题前，再回顾一下经典报童模型。

经典报童模型可以描述为：报童每天从供应商处采购一定数量的报纸用于当天的销售。已知每份报纸的成本价$c$，销售价$p$，需求量$d$是个不确定参数，通过历史的数据可知其概率分布函数，如果当天卖不完，会按回收价$s$将未卖完的报纸卖给回收站。

该模型的核心诉求是：确定报童的最佳订购量$x$，使得报童的净收入$\theta (x)$最大化。
其中$\theta (x)$的表达式为
$$\theta (x)=p\cdot E[\min (x,d)]+s\cdot E[\max (x-d,0)]-cx$$
第一项是售卖报纸的收益，第二项是回收报纸的收益，第三项是购买报纸的成本。

3 综述文章

在上述经典报童模型的基础上，目前已经衍生出了非常多的新问题。我简单调研了一下相关的综述文章，如下图所示。

早在1999年的时候，国外就有综述文章了，在2010年前后，国内又相继刊发了几篇。需要说明的是：这里国内和国外指的是中国人和外国人，不是指中文和英文。这里面被引用次数最多的是1999年和2011年的两篇文章，文章标题已经标注在图片中，感兴趣的朋友可以自行下载和学习。

4 模型扩展

如果仔细看已有的综述文章，会发现作者的分类扩展标准都不同，比如1999年文章把扩展问题划分成了11种，而2011综述文章则将其划分成了3种。

很多人看论文都会遇到一个问题：文章看了很多，但知识点却难以记忆。所以接下来我将换个角度去梳理这些扩展的报童问题。

首先，从优化模型本身出发，经典报童模型可以理解为：目标函数为最大化$\theta (x)$；无约束；优化变量数为$x$；输入参数包括需求量$d$、成本价$c$、和回收价$s$和销售价$p$。所以第一大类扩展就是分别针对目标函数、约束、优化变量和输入参数进行扩展。

其次，跳出优化模型，在问题的描述上进行扩展，本文将其定义为第二大类扩展：扩展问题场景。

4.1 扩展目标函数

首先看目标函数的扩展。

从最朴素的认知来看，在问题有了不确定性后，收益和风险就是并存的，而且一般来说，收益越高，风险越大。相比只关注收益最大化，更恰当的方案应该是，通过一定的策略，达到收益和风险的平衡。

要实现该目标，可以通过目标函数的扩展来实现。最常用的扩展目标函数是：设定某个预期收益，最大化达到该收益的概率。

更完备的收益和风险平衡的方案，可以去金融投资领域取取经，包括：均值-方差模型、风险估值(Value at Risk ,VaR)、条件风险估值(Conditional Value at Risk, CVaR)。这些模型在报童模型的扩展文献中也已经有很多研究，有兴趣的可以自行调研。

4.2 增加约束条件

然后看报童模型中可以增加哪些约束。

第一种是增加预算约束$B$，即
$$c\ast x\le B$$

第二种是增加库存约束或产能约束$W$，即
$$x\le W$$

除此之外，约束条件这里几乎就没啥可扩展的空间了。

4.3 增加优化变量

从前两节看，如果只是修改了目标函数或者增加了约束条件，好像问题的求解难度也没啥显著变化。

本小节来看一个真正可以增加问题求解难度的扩展方式：增加优化变量。

最常见的增加优化变量的方式是增加报纸类型的数量，即多产品。举个例子，报童可以采购的报纸类型有多种，每一种类型的报纸成本、销售价、需求量和回收价均不同。

当然，如果问题只有这个变化，那么求解复杂度并没有显著增加，因为每一种报纸的最优解计算都是相互独立的，可以分别按照经典报童模型来计算；但是在叠加了约束条件后，例如总预算上限有约束，再想求解就真的变难了。

另一种增加优化变量的方式是引入其他类型的优化变量。此处举个额外引入广告预算变量的例子：报童可以给予报纸一定的广告投入，投入广告后，会改变（大概率是增加）原有的需求，为了最大化收益，就需要在决策订购量的同时，再决策投入的广告预算。

4.4 扩展模型参数

（1）需求量$d$

上文中广告预算决策的实例，可以说是增加了优化变量，但也可以认为是扩展了需求分布。经典报童模型中，需求分布是个独立于优化变量的函数，但在这个实例中，需求分布函数中还包含了广告预算这个优化变量。

除了需求分布函数变复杂的情况，另一种扩展需求分布的方式是减少对需求分布的认知，例如只知道需求分布的部分信息，如均值、方差等，这类的实例可以参考此前的文章：不确定优化入门：用简单实例讲明白随机规划、鲁棒优化和分布鲁棒优化。

（2）成本价$c$

以往的成本价$c$都是固定值，但在很多场景中，如果报童订购量比较大，供应商是愿意给予一定的折扣的，如超过100份报纸打8折等。

（3）回收价$s$

回收价$s$的扩展一般也与供应商有关。为了鼓励报童多订购报纸，供应商可能会愿意承诺以原价买回报童未卖掉的报纸，此种情况下，相当于供应商分担了需求不确定性带来的风险。

（4）销售价$p$

单独针对销售价$p$的扩展比较少见，通常会结合问题场景的扩展，一并扩展。

4.5 扩展问题场景

问题场景扩展的类型特别多，这里选择几个（不全面）比较常见的类型来描述。

（1）增加频次

先举个增加销售频次的例子，接上此前所说的销售价扩展：假设商品(如服装产品)为一次订货，并用于两个周期(如春、秋)的售卖。第一个周期可以正常售卖，但第二个周期需要决策销售价格（往往是折扣价），目标还是使得总收益达到最大化。

另一个增加频次的方式是：增加订购频次。在允许两次订购的场景中，第二次的成本价往往会高于第一次。

（2）两层报童问题

经典报童问题是仅站在报童视角去分析问题的，但实际上报童和供应商都有提升收益的诉求，他们之间既有合作也有竞争，将他们内部的层次递进关系和决策的相互影响都引入到模型中去，也是一个扩展方向。

（3）供应商不确定性

经典报童问题中，不确定性只存在于需求$d$中，但供应商处往往也存在不确定性，如供应商的产量具有不确定性、有一部分货品是次品等。

5 总结

综上，基于经典报童模型的扩展问题介绍就到这里了。

本篇文章的文字比较多，此处简单总结一下：

（1）经典报童模型的扩展问题比较多，本文按以下顺序进行了分类：扩展目标函数、增加约束变量、增加决策变量、扩展模型参数和扩展问题场景。

（2）针对自己遇到的问题，可以先找到对应的报童问题类型，然后再借鉴其具体的求解方案。

6 相关阅读

【1】The single-period (news-vendor) problem: literature review and suggestions for future research：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0305048399000171

【2】报童模型的研究进展综述：https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-TJJC200817006.htm

【3】报童问题的扩展模型：https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-WHDY200803001.htm

【4】The newsvendor problem: Review and directions for future research：https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0377221710008040

【5】多产品报童模型的研究综述：https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-LTKJ201503009.htm

【6】A Review of Behavioral Decision Making in the Newsvendor Problem：https://www.journal.oscm-forum.org/journal/journal/download/20180819023347_Paper_3_Vol.11_No._4,2018_Final.pdf