目录

一、数学规划

1.1 数学规划问题一般形式

二、常见规划模型

2.1 线性规划（Linear Programming）

2.1.1 定义   

2.1.2 一般形式

2.1.3 标准形式

2.1.4 求解

2.2 整数规划（Integer Programming）

2.2.1 单目标规划

2.2.2 两目标规划

2.3 非线性规划（Nonlinear Programming）

2.3.1 定义

2.3.2 灵敏性及稳健性分析

2.3.3 求解

三、注意

一、数学规划

        数学规划(Mathematical Programming)是应用数学的一个重要分支，并非指某种特定的面向数学的计算机编程技术。

        该术语由哈佛大学的Robert Dorfman最先使用，其初始含义具有相当的包容性，从数学的角度表达了人们处理实际问题的一种理念。如下图所示：

 五步法建模：

1.1 数学规划问题一般形式

        满足约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。

        于是数学规划问题可以表述为：求满足约束条件的x * ，使f(x * )成为最优（最小或最大值），而将x * 称为数学规划问题的最优解，将f * = f(x * )称为最优值。相当于高等数学里的条件极值。

        数学规划的研究对象是数值最优化问题，所以，数学规划现在被通俗的称为最优化(optimization) 。

二、常见规划模型

2.1 线性规划（Linear Programming）

2.1.1 定义   

数学规划模型中，如果

（1）目标函数为决策变量的线性函数；

（2）约束条件为决策变量的线性等式或线性不等式，

则称之为线性规划(Linear programming,记为LP）。

2.1.2 一般形式

目标函数  

                

2.1.3 标准形式

目标函数 

                 

或 

 

2.1.4 求解

2.2 整数规划（Integer Programming）

2.2.1 单目标规划

定义：数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时，称为整数规划。缩写IP。

若在线性规划中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。若无特别说明，整数规划一般指整数线性规划。 

若整数规划中某个变量仅取0和1，则称为 0-1型整数规划。

分类：变量全部限制为整数时，称为纯(完全)整数规划。

           变量部分限制为整数时，称为混合整数规划。

特点：

（1）原线性规划有最优解，当变量限制为整数后，整数规划解的可能情况：

          ①原线性规划的最优解全为整数，则整数规划的最优解不变；

          ②整数规划无可行解；

          ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。

（2）整数规划最优解不能按实数最优解简单取整而获得。

2.2.2 两目标规划

若进行加权形成一个目标： 

2.3 非线性规划（Nonlinear Programming）

2.3.1 定义

定义：如果线性规划的目标函数或约束函数中含非线性函数，则称之为非线性规划。

注意：

（1）线性规划与非线性规划区别，若线性规划的最优解存在，则只能在可行域的边界特别是顶点达到，而非线性规划则可能在可行域的任意一点达到；

（2）非线性规划目前没有一般的算法，各方法都有特定的适用范围，解非线性规划问题比解线性规划问题困难很多。

2.3.2 灵敏性及稳健性分析

（1）灵敏性

        数学建模的整个过程从一些假设开始，但我们很少能保证这些假设是完全正确的，因此需要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度。

（2）稳健性

        一个数学模型称为稳健的，是指即使模型不完全精确，由其导出的结论也是可靠的。

2.3.3 求解

（1）无约束条件最优解：多元函数求极值；

         有约束条件最优解：条件极值，拉格朗日乘数法

（2）计算软件

         用Matlab工具箱求解非线性规划问题（略）

三、注意

1、尽量使用实数优化，减少整数约束和整数变量

2、尽量使用光滑优化，减少非光滑约束的个数

      如：尽量少使用绝对值、符号函数、多个变量求最大/最小

      值、四舍五入、取整函数等

3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数

         （如x/y <5 改为x<5y）

4、合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值

5、模型中使用的参数数量级要适当     (如小于103)