文章目录
- 前言
- 组合
- 线性组合 (linear combination)
- 仿射组合 (affine combination)
- 锥组合 (conic combination)
- 凸组合 (convex combination)
- 集合
- 仿射集合
- 凸集合
- 练习：哪个图形是凸的，哪个是仿射的？
- 参考资料
前言
组合侧重于描述由一些基点生成新的点，强调的是不同点的权重和几何位置。
集合侧重于描述许多个点形成的形状，强调的是完整性和连通性。
组合
线性组合 (linear combination)
S
S
S是一向量空间
V
V
V的子集合，如果存在有限多个向量属于
S
S
S，和对应的标量
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
∈
F
a_1, a_2, ...,a_n \in F
a1,a2,...,an∈F，使得：
v
=
∑
i
=
1
n
a
i
v
i
=
a
1
v
1
+
a
2
v
2
+
.
.
.
+
a
n
v
n
v =\sum_{i=1}^{n}a_iv_i= a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n
v=i=1∑naivi=a1v1+a2v2+...+anvn
我们称
v
v
v是
(
v
1
,
.
.
.
,
v
n
)
(v_1,..., v_n)
(v1,...,vn)的线性组合。
在二维空间里，如果对 α n \alpha_n αn没有任何限制的话， a 1 v 1 + a 2 v 2 + . . . + a n v n a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n a1v1+a2v2+...+anvn可以扩散出整个空间。
仿射组合 (affine combination)
在上面线性组合的定义中，如果
∑
i
=
1
n
a
i
=
1
\sum_{i=1}^{n}a_i=1
i=1∑nai=1
我们则称
v
v
v是
(
v
1
,
.
.
.
,
v
n
)
(v_1,..., v_n)
(v1,...,vn)的仿射组合。
在二维空间里，仿射组合可以看作一条经过两个点的直线（两端可以无限延伸）。
锥组合 (conic combination)
在上面线性组合的定义中，如果
a
i
≥
1
a_i \geq 1
ai≥1
我们则称
v
v
v是
(
v
1
,
.
.
.
,
v
n
)
(v_1,..., v_n)
(v1,...,vn)的锥组合。像个冰淇淋🍦一样。
在二维空间里，可以想象是从一条原点出发的射线区域。
凸组合 (convex combination)
在上面线性组合的定义中，如果
a
i
≥
1
，且
∑
i
=
1
n
a
i
=
1
a_i \geq 1，且 \sum_{i=1}^{n}a_i=1
ai≥1，且i=1∑nai=1
我们则称
v
v
v是
(
v
1
,
.
.
.
,
v
n
)
(v_1,..., v_n)
(v1,...,vn)的凸组合，可以看到凸组合的要求是最严格的，相当于是锥组合和仿射组合的交集。
在二维空间里，凸组合可以看作一条经过两个点的线段。
集合
仿射集合
仿射集合里任意两点的连线仍然在集合里。
凸集合
凸集合里任意两点的线段都在集合里。比如一个圆形，就是一个凸集合，但它不是一个放射集合。
练习：哪个图形是凸的，哪个是仿射的？
下面两幅图，哪个是凸的，哪个是仿射的？
- 左图：凸的，但不是仿射的；
- 右图：不是凸的，也不是仿射的。
参考资料
- 线性规划 方述诚
- 线性组合
