AVL树的模拟实现

我们上期提到了二叉搜索树，只是简单的讲了一下原理，那么今天我们就讲一下AVL树。

目录

  • AVL树的概念
  • AVL树的实现
    • AVL树的架构
    • insert插入
      • 引用pair对象
      • 引进parent指针
      • 仅插入数据
      • 调节平衡因子
        • 情况1：插入在父亲的右边，父亲的平衡因子++后为0
        • 情况2：插入在父亲的左边，父亲的平衡因子--后为0
        • 情况3：插入左或者右，恰巧父亲不是0，是-1/1
        • 情况4：当父亲的平衡因子==-2/2，不需要在更新了，证明不平衡了，需要旋转。
        • 左边高，右旋
        • 右边高，左旋
        • 双旋转
          • 右左旋转：先右旋然后左旋。
          • 左右双旋：先左旋，在右旋。
    • 中序遍历
    • 判断是否平衡
    • AVL树整体代码

AVL树的概念

其实大家应该很奇怪，难道二叉搜索树不能存储数据吗？为什么要有AVL树呢？二叉搜索树有可能会有畸形的情况。像下图，数据比较分散的话，这棵树很正常，如果我们插入的数相对有序就会变成右边那样畸形的树。
在这里插入图片描述
这个时候就需要人工干预，这里的AVL数就可以更好的控制这个情况，它有自己的平衡规则：左右子树高度之差(平衡因子)绝对不超过1(-1,0,1)。如果不满足这个规则，那么我们就旋转。

AVL树的实现

因为AVL树也是二叉搜索树的一种，所以他也要满足二叉搜索树的条件，然后在满足他自己的平衡规则。

AVL树的架构

其实数的节点架构和整体架构并没有变，只是多了一个bf(平衡因子)，用来调节平衡。

struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const pair<K, V> kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;
};
template<class K,class V>
class AVLTree
{
	public:
		typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
	private:
	Node* _root=nullptr;
}

insert插入

引用pair对象

这里与原来不同，这里我们引入了一个pair对象，那么pair是什么？我们用pair来实现KV结构，在库中的map也是用pair也完成KV结构的，所以这里我们就用这pair。pair对象的first是K值，second是V值。
在这里插入图片描述

引进parent指针

这里引用父指针是因为我们将来要旋转，要不断向上调节平衡因子，因为当我们插入某个值有可能引起平衡因子失衡。

仅插入数据

其实插入部分和我们之前写的一样，只不过要注意的是，我们的值存的是pair对象，要像拿到K值需要 _kv.first拿到K值。一定要遵循二叉搜索树的规律，左子树比根小，右子树比根大。

	if (_root == nullptr)
	{
		//插入第一个值
		Node* newNode = new Node(kv);
		_root = newNode;
		return true;
	}
	Node* newNode = new Node(kv);
	Node* cur = _root;
	Node* parent = cur;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < newNode->_kv.first)
		{
			//大于在右边
			parent = cur;
			cur = cur->_right;

		}
		else if (cur->_kv.first > newNode->_kv.first)
		{
			//小于在左边
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			//等于,二叉搜索树不允许冗余，所以直接返回false。
			return false;
		}
	}
	if (parent->_kv.first > newNode->_kv.first)
	{
		//在左边
		parent->_left = newNode;
	}
	else
	{
		//在右边
		parent->_right = newNode;
	}
	newNode->_parent = parent;

调节平衡因子

情况1：插入在父亲的右边，父亲的平衡因子++后为0

红色是我插入的数，插入后，它的parent：12从-1加加后变成了0，我们还需要向上更新吗？答案是不需要向上更新，为什么？0表示左右子树的高度差为0，也就说高度没有变，所以我不需要再向上更新。
解释：平衡因子原来是1/-1都表示这个树缺了一个节点，当我们插入之后正好填上了这个节点，但是高度并不变。看图！我把15插入，右子树这个高度没有变。
在这里插入图片描述

情况2：插入在父亲的左边，父亲的平衡因子–后为0

当我插入在左边，那我们就需要给父亲的因子bf–。
在这里插入图片描述

情况3：插入左或者右，恰巧父亲不是0，是-1/1

父亲的平衡因子==1/-1，父亲所在子树高度变了。高度变了继续向上更新。
在这里插入图片描述

情况4：当父亲的平衡因子==-2/2，不需要在更新了，证明不平衡了，需要旋转。

这个时候就不满足AVL树的规则了，就需要旋转。
在这里插入图片描述

左边高，右旋

这个树就是左边高的情况，你会发现parent为-2，cur为-1，这个情况就是左边比右边要高，那么我们需要右旋。
在这里插入图片描述
右旋的口诀：把cur的右边给parent的左边，cur的右边链接parent，在让parent的parent链接cur。会发现我们把原来的parent变成了cur的右边。并且现在是平衡的。

其实为什么要把cur的右边给parent呢？是因为cur的右边时当前树最大的值，cur给了parent链接到左边，依然不会破坏二叉搜索树的规则。
在这里插入图片描述

void RotateR(Node* parent )
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
		subLR->_parent = parent;
	subL->_right = parent;
	Node* ppNode = parent->_parent;
	parent->_parent = subL;
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subL;
		}
		subL->_parent = ppNode;
	}
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
右边高，左旋

当我们插入红色节点的时候就会导致右边过高，那么我们就需要左旋。
在这里插入图片描述

左旋的口诀：让cur的左边给parent的右边链接，然后让父亲变成cur的左边。
解释：为什么要把cur左边的值给parent的右边？cur当前位置是parent的右边，cur的左边也是比parent大的值，给parent的右边依然不影响二叉搜索树的规则。
在这里插入图片描述

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	if(subRL)
	subRL->_parent = parent;

	subR->_left = parent;

	Node* pphead = parent->_parent;

	parent->_parent = subR;
	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (pphead->_parent == parent)
		{
			pphead->_right = subR;
		}
		else
		{
			pphead->_left = subR;
		}
		subR->_parent = pphead;
	}
	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
双旋转

还有一种情况，它并不是单纯的一边高，用单旋并不能解决问题。当我们仅仅只是单旋会发现他有变成了形态不同，但是问题一样的情况，这个时候就需要双旋。
在这里插入图片描述

右左旋转：先右旋然后左旋。

既然我们单旋解决不了问题，我们可以把他变成一边高，然后进行单旋。
如这个图，我们可以对subR进行右旋后，在对parent左旋就可以了。
在这里插入图片描述
右左双旋后：
在这里插入图片描述
但是有个问题，平衡因子我们应该如何更新？你可能会说这种情况不是正好满足左旋/右旋后平衡因子变成0吗？但是如果其他位置都有节点呢？接下来我们抽象图，给大家演示一下。
当我们插入节点的位置不同，你会发现每一个平衡因子也不一样。如图：我插在了右边。这个时候我通过右左双旋就会得到下图。如最右图的红色平衡因子，应该变成这个情况。所以说插入的位置不同，平衡因子也会不同。
在这里插入图片描述
如图：假如我插在了左边。会发现平衡因子又不一样了。所以我们并不能用一个例子来概括所有。
在这里插入图片描述
那么我们应该怎么做呢？其实从我们画图，你会发现我们改变的只不过是parent 、subR、sunRL这三个节点的因子，其他的并没有改变。并且，跟subRL的因子有密切关系，所以我们只需要判断subRL的因子是0/1/-1就能修改他们三个因子。

		void RotateRL(Node* parent)
		{
			//右左双旋
			//平衡因子需要自己调节
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;

			int bf = subRL->_bf;
			RotateR(subR);
			RotateL(parent);

			if (bf == 0)
			{
				//新插入的
				parent->_bf =0;
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 1)
			{
				//右边插入的
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
				parent->_bf = -1;
			}
			else if(bf==-1)
			{
				//在左边插入的
				parent->_bf = 0;
				subR->_bf = 1;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

		}
左右双旋：先左旋，在右旋。

图下是：左右双旋。
在这里插入图片描述

当然了，我们依然需要分析平衡因子，所以我们依然要分析插入在哪个位置。
如图：当插入在右边。
在这里插入图片描述

如图：当我们插在左边。
在这里插入图片描述

		void RotateLR(Node* parent)
		{
			//左右双旋
			//平衡因子需要单独调节
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;
			int bf = subLR->_bf;
			//先左旋在右旋
			RotateL(parent->_left);
			RotateR(parent);
			//重新计算调节因子
			if (bf == 0)
			{
				//当且节点就是新插的
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if(bf==1)
			{
				 //在当前节点的右边插入的
				parent->_bf = 0;
				subL->_bf = -1;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if(bf == -1)
			{
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 1;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);

			}
		}

中序遍历

因为二叉搜索树我们都是中序遍历，因为中序遍历更接近有序。

void _Inorder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}
	_Inorder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second<<endl;
	_Inorder(root->_right);
}

判断是否平衡

什么时候不平衡？是不是因子大于等于2的时候，所以我们需要算左右树的高度相减，如果超过2，那就是不平衡。

		bool _isBalance(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return true;
			}
			int left = _Height(root->_left);
			int right = _Height(root->_right);
			if (abs(left - right) >= 2) return false;//因子大于等于2的时候不平衡
			return _isBalance(root->_left) && _isBalance(root->_right);
		}
		int _Height(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return 0;
			int left = _Height(root->_left);
			int right = _Height(root->_right);
			return max(left, right) + 1;
		}

AVL树整体代码

以下是整个AVL树所有的代码？

问题：为什么没有像库一样写删除呢？答：我们模拟实现其实是为了了解底层，并不是要超过底层，因为现有的库已经很好了，我们没必要写一个。二叉搜索树很少用删除接口。所以这里没有实现。

#pragma once
#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<assert.h>

using namespace std;
namespace KV
{
	template<class K,class V>
	struct AVLTreeNode
	{
		AVLTreeNode(const pair<K, V> kv)
			:_left(nullptr)
			,_right(nullptr)
			,_parent(nullptr)
			,_kv(kv)
			,_bf(0)
		{}
		AVLTreeNode* _left;
		AVLTreeNode* _right;
		AVLTreeNode* _parent;
		pair<K, V> _kv;
		int _bf;
	};
	template<class K,class V>
	class AVLTree
	{
	public:
		typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
		bool insert(const pair<K, V> kv)
		{
			if (_root == nullptr)
			{
				//插入第一个值
				Node* newNode = new Node(kv);
				_root = newNode;
				return true;
			}
			Node* newNode = new Node(kv);
			Node* cur = _root;
			Node* parent = cur;
			while (cur)
			{
				if (cur->_kv.first < newNode->_kv.first)
				{
					//大于在右边
					parent = cur;
					cur = cur->_right;

				}
				else if (cur->_kv.first > newNode->_kv.first)
				{
					//小于在左边
					parent = cur;
					cur = cur->_left;
				}
				else
				{
					//等于,二叉搜索树不允许冗余，所以直接返回false。
					return false;
				}
			}
			if (parent->_kv.first > newNode->_kv.first)
			{
				//在左边
				parent->_left = newNode;
			}
			else
			{
				//在右边
				parent->_right = newNode;
			}
			newNode->_parent = parent;
			cur = newNode;
			while (parent)
			{
				if (parent->_left == cur)
				{
					cur->_parent->_bf--;
				}
				else if (parent->_right == cur)
				{
					cur->_parent->_bf++;
				}
				if (parent->_bf == 0)
				{
					break;
				}
				else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
				{
					cur = parent;
					parent = parent->_parent;
				}
				else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
				{
					//出现健康问题需要旋转
					//左边高，右旋转
					if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
					{
						RotateR(parent);
					}
					//右边高，左旋转
					else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
					{
						RotateL(parent);
					}
					else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
					{
						//左右双旋
						RotateLR(parent);
					}
					else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
					{
						//右左双旋
						RotateRL(parent);
					}
					else
					{
						assert(false);
					}
				}
				else
				{
					//按道理说不可能有这种情况，但是保不准会有bug
					assert(false);
					break;
				}
			}
			return true;
		}

		void Inorder()
		{
			_Inorder(_root);
		}
		int Height()
		{
			return _Height(_root);
		}
		bool isBalance()
		{
			return _isBalance(_root);
		}
	private:
		int _Height(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
				return 0;
			int left = _Height(root->_left);
			int right = _Height(root->_right);
			return max(left, right) + 1;
		}
		bool _isBalance(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return true;
			}
			int left = _Height(root->_left);
			int right = _Height(root->_right);
			if (abs(left - right) >= 2) return false;
			return _isBalance(root->_left) && _isBalance(root->_right);
		}
		void RotateRL(Node* parent)
		{
			//右左双旋
			//平衡因子需要自己调节
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;

			int bf = subRL->_bf;
			RotateR(subR);
			RotateL(parent);

			if (bf == 0)
			{
				//新插入的
				parent->_bf =0;
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else if (bf == 1)
			{
				//右边插入的
				subR->_bf = 0;
				subRL->_bf = 0;
				parent->_bf = -1;
			}
			else if(bf==-1)
			{
				//在左边插入的
				parent->_bf = 0;
				subR->_bf = 1;
				subRL->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}

		}
		void RotateLR(Node* parent)
		{
			//左右双旋
			//平衡因子需要单独调节
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;
			int bf = subLR->_bf;
			//先左旋在右旋
			RotateL(parent->_left);
			RotateR(parent);
			//重新计算调节因子
			if (bf == 0)
			{
				//当且节点就是新插的
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 0;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if(bf==1)
			{
				 //在当前节点的右边插入的
				parent->_bf = 0;
				subL->_bf = -1;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else if(bf == -1)
			{
				subL->_bf = 0;
				parent->_bf = 1;
				subLR->_bf = 0;
			}
			else
			{
				assert(false);

			}
		}
		void RotateR(Node* parent )
		{
			Node* subL = parent->_left;
			Node* subLR = subL->_right;
			parent->_left = subLR;
			if (subLR)
				subLR->_parent = parent;
			subL->_right = parent;
			Node* ppNode = parent->_parent;
			parent->_parent = subL;
			if (parent == _root)
			{
				_root = subL;
				subL->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (ppNode->_left == parent)
				{
					ppNode->_left = subL;
				}
				else
				{
					ppNode->_right = subL;
				}
				subL->_parent = ppNode;
			}
			parent->_bf = subL->_bf = 0;
		}
		void RotateL(Node* parent)
		{
			Node* subR = parent->_right;
			Node* subRL = subR->_left;

			parent->_right = subRL;
			if(subRL)
			subRL->_parent = parent;

			subR->_left = parent;

			Node* pphead = parent->_parent;

			parent->_parent = subR;
			if (parent == _root)
			{
				_root = subR;
				subR->_parent = nullptr;
			}
			else
			{
				if (pphead->_parent == parent)
				{
					pphead->_right = subR;
				}
				else
				{
					pphead->_left = subR;
				}
				subR->_parent = pphead;
			}
			subR->_bf = parent->_bf = 0;
		}

		void _Inorder(Node* root)
		{
			if (root == nullptr)
			{
				return;
			}
			_Inorder(root->_left);
			cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second<<
				" 因子：" <<root->_bf<< endl;
			_Inorder(root->_right);
		}
		Node* _root=nullptr;
	};
}

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