小苯的排列构造，小苯的01背包（easy），小苯的01背包（hard）

小苯的排列构造

题目描述

运行代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N 1000050
int i,j,k,n,m,t,a[N],b[N],f[N],l[N];
bool v[N];
int main(){
	cin>>n;
	for(i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i];
	v[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(a[i-1]%a[i])
        {
            cout<<-1;
            return 0;
        }		
		while(v[l[a[i]]])
            l[a[i]]+=a[i];
		v[l[a[i]]]=1;
        f[i]=l[a[i]];
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
        cout<<f[i]<<' ';
}

代码思路

读取整数序列 a[1], a[2], ..., a[n]。
遍历序列，对于每个 a[i]，确保 a[i] 能够整除其前一个数 a[i-1]（除了第一个数 a[1]，因为它没有前一个数）。
使用一个数组 l 来存储每个数 x 的当前可能位置或标签。例如，l[x] 表示当前值为 x 的数应该被放置在哪个位置。
使用一个布尔数组 v 来标记哪些位置已经被使用了。
对于每个 a[i]：如果 a[i] 不能整除其前一个数（除了第一个数 a[1]），则输出 -1 并终止程序。否则，在 l[a[i]] 开始，向后查找第一个未被使用的位（即 v[l[a[i]]] 为 false 的位置）。将找到的位置标记为已使用（v[l[a[i]] + k*a[i]] = true，其中 k 是使得该位置未被使用的最小整数）。将 f[i] 设置为找到的位置 l[a[i]] + k*a[i]。
输出所有的 f[i]。

小苯的01背包（easy）

题目描述

运行代码

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
int v[N],w[N];
int ans;
void solve()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=30;i>=0;i--){
        int sum=ans|(1<<i);
        int v_sum=(1<<30)-1;
        for(int j=0;j<n;j++){
            if((w[j]&sum)==sum) 
                v_sum&=v[j];
        }
        if(v_sum<=k) ans=sum;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return;
}
int main()
{
	int f= 1;
	while(f--)
        solve();
	return 0;
}

代码思路

输入处理：首先读取两个整数n和k，表示物品数量和目标价值。然后读取每个物品的价值v[i]和属性w[i]。
位运算优化的动态规划：
- 外层循环从30（即二进制最高位）降到0，这是因为假设属性的位数最多为30位（由(1<<30)-1暗示）。
- 对于当前位i，计算当前最优解ans加上这一位后的值sum。
- 初始化v_sum为(1<<30)-1，代表所有可能的属性集合。
- 遍历所有物品，检查当前物品的属性集合w[j]是否包含sum的所有位（即w[j] & sum == sum），如果是，则将该物品的价值集合（视为一个二进制位集合）与v_sum进行按位与操作，这样可以逐步筛选出满足条件的最小价值集合。
- 如果经过上述筛选后得到的v_sum小于等于目标价值k，说明加入这一位是可行的，更新当前最优解ans = sum。
输出结果：最后输出得到的最大属性集合所对应的二进制值ans。
主函数：主函数中通过一个变量f控制解决问题的次数，这里f=1意味着只解决一次问题，然后调用solve()函数执行上述逻辑。

小苯的01背包（hard）

题目描述

运行代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+5;
int read() {
    int x = 0, f = 1;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9')
        f = (c == '-') ? -1 : 1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9')
        x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return f * x;
}
int a[N], v[N], w[N], b[N], n, k;
bool check(int x) {
    int tot = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if((x & w[i]) == x)
            b[++tot] = i;
    int c = (1 << 31) - 1;
    for(int i = 1; i <= tot; i++)
        c &= v[b[i]];
    if(c <= k)
        return 1;
    return 0;
}
signed main() {
    n = read(), k = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        v[i] = read(), w[i] = read();
    int ans = 0;
    for(int i = 30; i >= 0; i--) {
        if(check(ans | (1 << i)))
            ans |= 1 << i;
    }
    cout << ans;
}

代码思路

输入处理:
- 使用read()函数自定义读取整数，支持负数，提高了输入效率。
- 读取项目数量n和价值阈值k，以及每个项目的具体价值v[i]和属性w[i]。
check函数:
- 输入一个整数x，表示当前考虑的属性集合。
- 遍历所有项目，如果项目i的属性集合w[i]是x的子集（即(x & w[i]) == x），则将该项目的索引存入数组b[]。
- 计算所有符合条件的项目价值集合的交集（通过按位与运算），并检查这个交集的值是否不大于k。如果满足条件，返回true；否则，返回false。
主函数逻辑:
- 初始化答案ans为0，表示当前考虑的最优属性集合。
- 从最高位到最低位遍历（即从第30位到第0位），对于每一位：尝试将这一位置为1（即在当前最优解基础上增加这一位的属性），然后检查这一改变是否仍然满足总价值不超过k的条件，这通过调用check()函数完成。如果满足条件，就保留这一位的修改（即这一位在最终解中应为1）；如果不满足，就尝试下一位。
- 最终输出得到的属性集合的二进制表示ans。