【C++进阶】AVL树

0.前言

前面我们已经学习过二叉搜索树了，但如果我们是用二叉搜索树来封装map和set等关联式容器是有缺陷的，很可能会退化为单分支的情况，那样效率就极低了，那么有没有方法来弥补二叉搜索树的缺陷呢？

那么AVL树就出现了，通过AVL树的右单旋、左单旋、左右单旋，右左单旋等操作来防止二叉搜索树退化为单分支的情况出现。

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
AVL树也是以这两位大佬名字的首字母来命名的。

1.AVL树的概念

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树是AVL树：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
     

我们这里使用的平衡因子是右子树高度 - 左子树高度。 

 

2.AVL树节点的定义

代码如下：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;	//该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;	//该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;	//该节点的双亲

	pair<K, V>  _kv;	//该节点的key和value

	int _bf; //balance factor 平衡因子
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)	//该节点初始化
		:_left(nullptr)  
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)  
		, _bf(0)
	{}
};

3.AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子
     

插入思路：

 1.按照搜索树规则插入

2.更新插入节点的祖先节点的平衡因子

        a.插入父亲的右边，父亲的平衡因子--

        b.插入父亲的左边，父亲的平衡因子++

        c.父亲平衡因子 == 0， 父亲所在子树高度不变，不再继续往上更新。插入结束

        d.父亲平衡因子 == 1 or -1， 父亲所在子树高度变了，继续往上更新。

        e.父亲平衡因子 == 2 or -2， 父亲所在子树已经不平衡了，需要旋转处理。

更新中不可能出现其他值，插入之前树是AVL树，平衡因子要么是1 -1 0， ++ --

最多就是c/d/e三种情况。

 代码如下：

	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{
				//更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
			{
				//继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				//当前子树出现了问题，需要旋转平衡一下
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左右双旋
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋
					//RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				//理论上不会出现这种情况，但仍要判断，大佬都不能保证自己的代码没有bug
				assert(false);
			}

		}
		return true;
	}

4.AVL树的旋转

4.1 右单旋

插入新节点要插入较高左子树的左侧（左左）-》右单旋

图形解析：

 实现代码如下：

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)	//subLR有可能为空，不为空时才能调整subLR的父节点
			subLR->_parent = parent;
		subL->_right = parent;
		//parent不一定就是根节点，也可能是子树，所以要设置一个ppNode来标记parent的父节点
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

4.2 左单旋

插入新节点要插入较高右子树的右侧（右右）-》左单旋

图形解析：

 代码如下：

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)	//subRL有可能为空，不为空时才能调整subRL的父节点
			subRL->_parent = parent;
		subR->_left = parent;
		//parent不一定就是根节点，也可能是子树，所以要设置一个ppNode来标记parent的父节点
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

4.3 左右双旋

插入新节点要插入较高左子树的右侧（左右）-》左右双旋

图形解析：

对于插入的位置根据h的高度和插入的位置时的平衡因子出现的最终的结果可分为三种情况：

1.h == 0

        60自己就是新增节点。bf == 0

此时的平衡因子为，30 60 90节点都为0。

2.h > 0

        a.新增节点插入的是60的左子树中 bf == -1

此时的平衡因子为，30节点为0,90为0,60为1

        b.新增节点插入的是60的右子树中bf == 1

此时的平衡因子为，30节点为-1,90为0,60为0

代码如下：

 

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			//理论上不会出现的情况
			assert(false);
		}
	}

4.4 右左双旋

插入新节点要插入较高右子树的左侧（右左）-》右左双旋

与左右双旋类似

代码如下：

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			//理论上不会出现的情况
			assert(false);
		}
	}


总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
 

5.AVL树的验证

5.1 验证其是否为二叉搜索树

给一个序列进行一次中序遍历，看是否有序，有序即为二叉搜索树。

void TestAVLTree1()
{
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	AVLTree<int, int> t1;
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert({ e,e });
	}

	t1.InOrder();
}

5.2 验证其是否为平衡树

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		//不平衡
		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		//顺便检查一下平衡因子是否正确
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		return _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->right);
	}

6.AVL树的删除（了解）

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

7.AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即logN。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

 8.AVL树的整体模拟代码实现

#pragma once
#include<iostream>
using namespace std;
#include<assert.h>

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;	//该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;	//该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;	//该节点的双亲

	pair<K, V>  _kv;	//该节点的key和value

	int _bf; //balance factor 平衡因子
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)	//该节点初始化
		:_left(nullptr)  
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)  
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{
				//更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
			{
				//继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
			{
				//当前子树出现了问题，需要旋转平衡一下
				if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右单旋
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左单旋
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					//左右双旋
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					//右左双旋
					RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				//理论上不会出现这种情况，但仍要判断，大佬都不能保证自己的代码没有bug
				assert(false);
			}

		}
		return true;
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR)	//subLR有可能为空，不为空时才能调整subLR的父节点
			subLR->_parent = parent;
		subL->_right = parent;
		//parent不一定就是根节点，也可能是子树，所以要设置一个ppNode来标记parent的父节点
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppNode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL)	//subRL有可能为空，不为空时才能调整subRL的父节点
			subRL->_parent = parent;
		subR->_left = parent;
		//parent不一定就是根节点，也可能是子树，所以要设置一个ppNode来标记parent的父节点
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			//理论上不会出现的情况
			assert(false);
		}
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			//理论上不会出现的情况
			assert(false);
		}
	}
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return nullptr;
	}


	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}
	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

	int Size()
	{
		return _Size(_root);
	}
private:
	int _Size(Node* root)
	{
		return root == nullptr ? 0 : _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}
	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
	}
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		//不平衡
		if (abs(leftHeight - rightHeight) >= 2)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		//顺便检查一下平衡因子是否正确
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}

		return _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	Node* _root = nullptr;
};

void TestAVLTree1()
{
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	AVLTree<int, int> t1;
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert({ e,e });
	}

	t1.InOrder();
}
void TestAVLTree2()
{
	int a[] = { 8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13 };
	AVLTree<int, int> t1;
	for (auto e : a)
	{
		t1.Insert({ e,e });
	}
	t1.InOrder();
	cout << t1.IsBalance() << endl;
}

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步骤如下 打开cmd输入命令行 pip install django上图代表已经安装好了。但是里面的warning必须得将路径弄好&#xff0c;不然是运行不了 创建django项目 去到VS Code里&#xff0c;进入Terminal 页面&#xff0c;运行下面的命令 django-admin startproject [自己项目名称]就…
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基于地理坐标的高阶几何编辑工具算法（4）——线分割面

基于地理坐标的高阶几何编辑工具算法（4）——线分割面

文章目录 工具步骤应用场景算法输入算法输出算法示意图算法原理 工具步骤 选中待分割面&#xff0c;点击“线分割面”工具&#xff0c;绘制和面至少两个交点的线&#xff0c;双击结束&#xff0c;执行分割操作 应用场景 快速切分大型几何面&#xff0c;以降低面的复杂度&…
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Scrapy顺序执行多个爬虫

Scrapy顺序执行多个爬虫

Scrapy顺序执行多个爬虫 有两种方式&#xff1a; 第一种&#xff1a;bat方式运行 新建bat文件 cd C:\python_web\spiders\tiktokSelenium & C: & scrapy crawl spider1 & scrapy crawl spider2 & scrapy crawl spider3 & scrapy crawl spider4 第二种&a…
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小猪APP分发：一站式托管服务，轻松玩转应用市场

小猪APP分发：一站式托管服务，轻松玩转应用市场

在当今移动应用爆炸式增长的时代&#xff0c;开发者们面临的挑战不再仅限于创意的火花和代码的实现&#xff0c;更在于如何让精心打造的应用快速触达广大用户。这正是小猪APP分发www.appzhu.net应运而生的背景——作为一个全面、高效的APP托管服务分发平台&#xff0c;它为开发…
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解决docker中container运行闪退终止的问题

解决docker中container运行闪退终止的问题

在运行bindmount-test时&#xff0c;点击完运行按钮后闪退结束运行。 第一步查看log日志&#xff1a; 2024-05-18 23:46:18 Error: Cannot find module /app/nodemon 2024-05-18 23:46:18 at Function.Module._resolveFilename (internal/modules/cjs/loader.js:668:15) …
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【Kafka】消息的顺序性、可靠性、幂等性

【Kafka】消息的顺序性、可靠性、幂等性

目录 消息顺序性消息可靠性生产者丢失消息消费者丢失消息Kafka丢失消息 消息幂等性 消息顺序性 消息追加到partition尾部&#xff0c;单个partition是有序的&#xff0c;但多个partition如何进行有序的获取一些消息&#xff1f; 解决方案 一个topic只设置一个partition&…
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驱动执行报“Attribute var: Invalid permissions 0665”

驱动执行报“Attribute var: Invalid permissions 0665”

问题&#xff1a;执行驱动的时候会报下面这个错误 WARNING: CPU: 0 PID: 123 at fs/sysfs/group.c:61 internal_create_group0x170/0x264() Attribute var: Invalid permissions 0665 问题分析&#xff1a;查看 fs/sysfs/group.c:61的代码&#xff0c;发现是我设置 module_par…
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【C语言】C语言-学生成绩管理系统（源码+数据文件+课程论文）【独一无二】

【C语言】C语言-学生成绩管理系统（源码+数据文件+课程论文）【独一无二】

&#x1f449;博__主&#x1f448;&#xff1a;米码收割机 &#x1f449;技__能&#x1f448;&#xff1a;C/Python语言 &#x1f449;公众号&#x1f448;&#xff1a;测试开发自动化【获取源码商业合作】 &#x1f449;荣__誉&#x1f448;&#xff1a;阿里云博客专家博主、5…
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体检系统商业源码，C/S架构的医院体检系统源码，大型健康体检中心管理系统源码

体检系统商业源码，C/S架构的医院体检系统源码，大型健康体检中心管理系统源码

体检系统商业源码&#xff0c;C/S架构的医院体检系统源码&#xff0c;大型健康体检中心管理系统源码 体检信息管理系统软件是对医院体检中心进行系统化和规范化的管理。系统从检前&#xff0c;检中&#xff0c;检后整个业务流程提供标准化以及精细化的解决方案。实现体检业务市…
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