1. 验证全响应

%验证全响应=零状态响应+零输入响应
%y(n)=4y(n-1)+x(n),其中x(n)=δ(n),y(-1)=2.

clc;%清屏
clear all;%清除所有变量的值
b=[1];
a=[1,-4];
ys=[2];
xs=[0];%没有初始值，就是0
xn=[1, zeros(1,4)];%输入序列，假设长度是5，则输出长度也是5
n=0:length(xn)-1;%序列横坐标

y0=filtic(b,a,ys,xs);%由初始状态得到的y0值,
yn1=filter(b,a,zeros(1, length(xn)), y0);%零输入响应,由y0递推可得。
yn2=filter(b,a,xn, 0);%零状态响应
yn=filter(b,a,xn, y0);%全响应

结果：

2. 验证系统的时不变

%验证时不变
%y(n)=4y(n-1)+x(n),其中x(n)=δ(n),y(-1)=0.

clc;%清屏
clear all;%清除所有变量的值
b=[1];
a=[1,-4];
ys=[0];
xs=[0];
xn=[1, zeros(1,4)];%输入序列，假设长度是5，则输出长度也是5
n=0:length(xn)-1;%序列横坐标

y0=filtic(b,a,ys,xs);%由初始状态得到的y0值,
yn1=filter(b,a,zeros(1, length(xn)), y0);%零输入响应,由y0递推可得。
yn2=filter(b,a,xn, 0);%零状态响应
yn=filter(b,a,xn, y0);%全响应

%验证差分方程的时变特性
xn_d=[0,1,0,0,0];
yn_d=filter(b, a, xn_d, y0);

结果：只有初始状态为0的情况下才是时不变的

如果初始值不为0，结果是不一样的：

%验证时不变
%y(n)=4y(n-1)+x(n),其中x(n)=δ(n),y(-1)=2,初始值不为0

clc;%清屏
clear all;%清除所有变量的值
b=[1];
a=[1,-4];
ys=[2];%初始值
xs=[0];
xn=[1, zeros(1,4)];%输入序列，假设长度是5，则输出长度也是5
n=0:length(xn)-1;%序列横坐标

y0=filtic(b,a,ys,xs);%由初始状态得到的y0值,
yn1=filter(b,a,zeros(1, length(xn)), y0);%零输入响应,由y0递推可得。
yn2=filter(b,a,xn, 0);%零状态响应
yn=filter(b,a,xn, y0);%全响应

%验证差分方程的时变特性
xn_d=[0,1,0,0,0];
yn_d=filter(b, a, xn_d, y0);

结果：

3. 验证系统的稳定性

%求系统函数h(n), 并验证该系统是否是稳定的
%y(n)-2y(n-1)=x(n)

clc;%清屏
clear all;  %清除所有变量的值
b=[1];      %差分方程系数
a=[1,-2];   %差分方程系数
N=100;       %序列长度
dn=[1, zeros(1,N-1)]; %产生单位脉冲序列
hn=filter(b,a,dn); %求单位脉冲响应h(n),没有初始状态，直接输入即可
n=0:N-1;

xn=ones(1,N);%输入是单位阶跃序列
yn=filter(b,a,xn);%求系统输出

subplot(211);
stem(n, hn);title('h(n)');

subplot(212);
stem(n, yn);title('输入是x(n)=u(n)');

结果：

可以发现，输入有界，但输出并不是有界的，该系统不稳定，实际上h(n)是不收敛的序列。

4. 卷积法和递推法求系统输出

%卷积法和递推法有何差异
%y(n)=x(n)+2x(n-1)+4x(n-3), x(n)=[1 2 3 4]

clc;%清屏
clear all;  %清除所有变量的值
b=[1 2 0 4];      %h(n)
a=[1];      %差分方程系数
xn=1:4;     %输入序列

yn_cov=conv(b,xn);%卷积法求系统输出
yn_filter=filter(b, a, xn);%递推法求系统输出

结果：

长度不同，卷积法结果的长度是：4+4-1，而递推法的输出和输入长度相同。可以在递推法的输入序列后补上三个0，得到的结果就是一样的：