到底什么是数字？

来源：Bulletins from the Wolfram Physics Project

一、说明

数字这个概念是最普遍而又最难把控的概念。对数字概念的深度解读，决定人类社会方方面面的整体水平。而且，随着宇宙知识的认识，数字概念也似乎在膨胀中。

外星人乘坐星际飞船抵达。当然，人们可能会认为，要拥有所有这些技术，他们必须拥有数字的概念。或者也许人们在丛林深处发现了一个与世隔绝的部落。当然，他们也必须有数字的概念。对我们来说，数字似乎是那么自然——而且“显而易见”——很难想象每个人都不会拥有它们。但如果再深入一点，事情就不那么清楚了。

据说人类语言中有表示“一个”、“一对”和“许多”的单词，但没有表示特定较大数字的单词。在我们现代的技术世界中，这似乎是不可想象的。但想象一下您和您的狗在丛林中。每只狗都有特定的特征，而且很可能有一个特定的名字。为什么你要把它们作为一个集体来看待，把它们视为所有“只是狗”，都可以被算在内？

想象一下你有一些复杂的人工智能。也许它是星舰的一部分。其中正在进行计算：

这里的数字在哪里？有什么可数的呢？

让我们稍微改变一下计算规则。现在我们得到的是：

现在我们开始有了一些数字似乎更相关的东西。我们可以识别一堆结构。它们并不完全相同，但具有某些共同特征。我们可以想象通过说“有 11 个物体……”来描述我们所看到的东西。

二、数字概念的基础是什么？

小狗。羊。树木。星星。它们是什么类型的东西并不重要。一旦你拥有了一个你认为在某种程度上都是“同类”的收藏品，你就可以想象对它们进行计数。只需依次考虑它们中的每一个，在每一步对计数的最新结果应用一些特定的操作即可，这样您就可以在计算上构建如下内容：

对于我们普通的整数，我们可以将s解释为“后继函数”，或者“加 1”。但从根本上来说，真正重要的是我们减少了单独考虑每个原始事物，而只是重复应用一个操作，从而给出一系列结果。

然而，要达到这一点，还有一个关键的早期步骤：我们必须有一些明确的“事物”概念，或者本质上是不同对象的概念。我们的日常生活当然充满了这些。有不同的人。与众不同的长颈鹿。各具特色的椅子。但如果我们考虑一下云，情况就变得不太清楚了。或者一阵风。或者抽象的想法。

那么，是什么让我们能够识别一些明确的“可数事物”呢？不知何故，“事物”必须具有某种独特的存在——某种程度的持久性或普遍性，以及某种独立于其他事物的能力。

我们可以想象许多不同的具体标准。但有一种我们人类非常熟悉的通用方法：我们用人类语言谈论“事物”的方式。我们拍摄一些视觉场景。但当我们用人类语言描述它时，我们实际上总是想出对场景的象征性描述。

那里有一簇橙色像素。那边有棕色的。但在人类语言中，我们试图将所有细节简化为更简单的符号描述。那边有一把椅子。那边有一张桌子。

我们能否以任何有意义的方式进行这种“符号化”尚不明确。但使之成为可能的是，我们所看到的事物的某些部分具有足够的可重复性，我们可以将它们视为“同一类事物”，例如，用人类语言赋予它们明确的名称。“那是一张桌子；那是一把椅子；等等”。

有一个复杂的反馈循环，我在其他地方写过。如果我们经常看到某个东西，给它起一个名字就有意义了（“那是灌木”；“那是耳机”）。但一旦我们给它起了一个名字，我们就更容易谈论和思考它。因此，我们往往会发现或产生更多的这种物质，这使得它在我们的环境中更常见，我们也更熟悉。

抽象地说，“符号化”的可能性并不明显。世界的基本行为可能永远只会产生越来越多的多样性和复杂性，而永远不会产生任何类型的“重复对象”，例如，可以合理地赋予一致的名称。

人们可能会想象，一旦人们相信世界遵循一定的规律，那么就不可避免地会有足够的规律性来保证“符号化”的可能。但这忽略了计算不可约性现象。

考虑这个规则：

我们可能会想象，有了如此简单的规则，我们不可避免地能够以简单的方式描述它产生的行为。是的，我们总是可以运行规则来找出它产生的行为。但计算宇宙的一个基本事实是结果不必很简单：

一般来说，我们可以预期该行为在计算上是不可约的，因为如果不有效地跟踪规则应用中的每个步骤，就无法重现它。

有了这些行为

完全可以想象对正在发生的事情给出一个完整的符号描述。但一旦存在计算不可约性，这将是不可能的。没有办法对整个行为进行“压缩”符号化描述。

那么，我们为什么能够用语言、以“象征”的方式描述这么多呢？事实证明，即使一个系统（例如我们的宇宙）从根本上来说在计算上是不可约的，它也不可避免地会具有计算可约性的“口袋”。这些计算可简化性对于我们在宇宙中的运作方式至关重要。因为它们让我们对世界有一个连贯的体验，事情按照可识别的规律可预测地发生，等等。

它们还意味着，尽管我们不能指望象征性地描述一切，但总有一些事情是我们可以做到的。在某些地方我们可以期待数字概念的用处。

三、宇宙是什么样子

物理学的历史可能会让人们认为数字将是我们物理宇宙的任何基本理论结构的必要组成部分。但我们的物理项目提出的物理模型并没有内在地参考数字。

相反，它们只是涉及一个巨大的元素网络，并且根据某些规则不断地被重写。本质上没有坐标、数量或任何通常与数字相关的东西。尽管底层规则可能很简单，但系统的详细整体行为却非常复杂，并且充满了计算不可约性。

但关键在于，作为具有特定特征的观察者，我们只是对该系统的某些特征进行了采样。我们采样的特征实际上利用了可简化性。这就是数字等“简化概念”可以发挥作用的地方。

我们先来说说时间。我们已经习惯了时间以某种线性方式流逝的经历，也许是通过计算地球的自转（即天）之类的东西来标记的。但在我们模型的最低层，时间并不是这样运作的。相反，宇宙是通过整个网络中发生的大量基本更新事件而演化的。

这些更新事件具有一定的因果关系。（例如，某个更新事件可能“因果地依赖于”另一个事件，因为它使用另一个事件的“输出”作为“输入”。）最后，更新事件之间存在一整张因果关系的“因果图”：

完整的因果图极其复杂，并且充满了计算不可约性。但我们——作为观察者——只对该图的某些特征进行采样。而且——正如我最近在其他地方讨论过的——我们意识概念的本质似乎是定义采样的某些方面。特别是，尽管宇宙中所有的更新事件以及它们之间复杂的因果关系，我们最终还是通过想象我们有一个明确的“序列化”经验线索来“解析”我们所获取的样本，或者实际上时间在进步以纯粹线性的方式。

我们如何实现这一目标？一种方便的理想化——为思考时空和相对论而开发——是建立一个“参考系”，在其中我们想象将因果图划分为一系列切片（如上图所示），我们认为这些切片对应于“瞬时完整”宇宙的状态”在连续的“时间时刻”。这样做是否会保持一致并不明显。但在因果不变性和关于观察者的计算有界性的假设之间，事实证明确实如此——而且这样的观察者对宇宙的“体验”必须遵循我们从广义相对论中知道的物理定律。

那么，关于数字的出现，这告诉我们什么呢？在最低层次上，宇宙充满了计算不可约性，其中没有任何像数字这样的明显迹象。但在通过我们意识的基本特征体验宇宙时，我们本质上是在时间上强制某种“类似数字”的顺序性，这反映在广义相对论的有效性及其“本质上数字化”的时间概念中。或者，换句话说，“时间”（或“宇宙的进步”）本质上并不是“数字的”。但我们——作为“有意识的观察者”——对其进行采样的方式，它必然是连续的，一个时刻被另一个时刻接替，基本上是“数字”序列。

然而，在“时间切片”中对宇宙的行为进行采样是一回事，其中所有的空间都被忽略了。但是，为了能够“计算”时间流逝中的时刻（例如汇总为天），这些时刻必须具有某种“相同性”。宇宙不可能在连续的每个时刻做截然不同的事情；它必须具有一定的连贯性和一致性，让我们可以将不同的时刻视为“足够等同”，以便能够简单地“计算”。

事实上，广义相对论的出现作为我们模型的大规模极限（在像我们这样的观察者看来）几乎保证了这一结果，除了在某些病态或极端情况下。

好吧，对于像我们这样的观察者来说，宇宙中的时间在某种意义上是“不可避免的数字”。但空间呢？在我们模型的最低层，空间仅由一个巨大且不断更新的“空间原子”网络组成。要谈论“空间距离”之类的东西，我们首先必须获得某种“时间一致”版本的网络。这与时间的情况非常相似。为了得到时间如何运作的简单定义，我们必须省略空间。现在，为了有机会获得空间如何运作的简单定义，我们必须以某种方式“消除时间”。

或者，换句话说，我们必须考虑将因果图划分为“空间区域”（我们上面使用的水平“类空间切片”的垂直“类时间”模拟），这样我们实际上就可以将在该“空间区域”中随时发生的所有事件组合起来。（不用说，在实践中，我们不希望它是“任何时间”——只是一段与各个更新事件之间的时间间隔相比很长的时间跨度。）

时间在单个连续线程中前进的“意识假设”的空间类比是什么？据推测，我们可以在不考虑时间的情况下对空间进行采样，或者换句话说，我们可以一致地构建一个稳定的空间概念。

假设我们试图找到两个“空间点”之间的最短“行进路径”。一开始，定义非常微妙——尤其是因为没有“静态定义”的“空间点”。网络的每个部分都在不断被重写，所以从某种意义上说，当你“到达另一个点”时，它肯定不会和你开始时的“空间原子”相同。为了避免这种情况，你基本上必须省略时间。就像时间序列化的类空切片的情况一样，可以对类时间切片做出某些一致的选择。

假设做出了这样的选择，那么空间中的点之间就会存在“时间消除”（或者大致与时间无关）的路径，类似于我们之前的“空间消除”“时间路径”。那么我们如何测量空间中路径的长度，或者有效地测量两点之间的距离呢？与时间的情况直接类比，如果空间结构有足够的均匀性，那么我们可以期望通过“计数”来获得距离的数字版本。

时间的序列化让我们感觉到我们在时间中保持着连贯的存在和连贯的经验线索。在空间中做类似事情的能力让我们感觉到我们在空间中具有连贯的存在，或者换句话说，当我们在空间中移动时我们可以保持我们的身份。

原则上，可能不存在“纯运动”：任何“空间运动”都必然会改变事物的结构和特征。但关键在于，人们可以始终如一地标记空间中的位置，这样就不会发生这种情况，而“纯运动”是可能的。一旦我们做到了这一点，我们就会再次本质上强制存在一个可以用数字来衡量的距离概念。

好吧，但是如果我们以我们期望的有意识的观察者的方式对宇宙进行采样，并且在移动时保持自己的身份，那么我们测量时间和空间的方式就会不可避免地存在某种“数字特征”。但什么是“宇宙中的东西”呢？我们能否期望它也能以数字为特征？上面我们谈到了“事物”。宇宙中是否存在可以轻易计算的“事物”？

请记住，在我们的模型中，整个宇宙及其中的一切都只是一个巨大的网络。在最低层次上，这个网络只是空间原子和它们之间的连接，而不是我们可以立即认为是“东西”的东西。但我们期望在网络的结构中存在本质上更像“事物”的拓扑特征。

一个很好的例子是黑洞。当我们查看网络（尤其是因果图）时，我们可以潜在地识别事件视界和黑洞的特征。我们可以想象“计算黑洞”。

是什么让这成为可能？首先，黑洞具有一定程度的持久性。其次，他们在很大程度上可以被视为独立的。第三，它们都可以很容易地被识别为“同类事物”。不用说，这些特征都不是绝对的。黑洞会形成、合并、蒸发——因此并不是完全永久的。黑洞彼此之间可能存在引力效应（也可能存在量子效应），因此并不是完全独立的。但它们足够永久和独立，因此将它们视为可以轻松计算的“确定的事物”是一种有用的近似。

除了黑洞之外，宇宙中还有另一个“可数”事物的明显例子：粒子，如电子、光子、夸克等。（是的，如果我们的模型中粒子和黑洞之间存在深刻的联系，那也不会令人感到惊讶。）粒子（如黑洞）在某种程度上是永久的，在某种程度上是独立的，并且具有高度的“相同性”。

粒子的一个决定性特征是它们在某种程度上是局部化的（对我们来说，大概是在物理空间和鳃空间中），并且随着时间的推移保持其同一性。它们可以发射和吸收，因此并不完全永久，但不知何故它们存在的时间足够长，足以被识别。

因此，物理学中的一个基本观察是，粒子只以某些离散种类出现——在这些种类中，每个粒子（例如，每个电子）都是相同的，除了其位置和动量（以及自旋方向）。我们还不知道在我们的模型中这些粒子究竟是如何工作的，但假设它们对应于网络行为中某些离散的可能“拓扑障碍”。就像流体中的涡旋一样，它们的拓扑特性赋予它们一定的永久性。

值得理解的是，在我们的模型中，并非“宇宙中发生的”一切都一定可以用粒子来最好地表征。原则上，我们可以认为网络中的每一项活动都在某种程度上与足够小或短命的“粒子”有关。但大多数情况下，我们可以识别为特定“可数”粒子的特征不会出现“空间”。

一个极端的情况是传统量子场论中被认为是零点涨落的情况：永远存在的短寿命虚拟粒子对的无限集合。在我们的模型中，人们不会立即想到粒子：相反，网络中的持续活动实际上“将空间编织在一起”。

但在回答物理学是否不可避免地导致数字概念的问题时，我们当然可以指出可以识别明确的“可数”粒子的情况。但这是否就像我们上面讨论的时间和空间的情况一样：数字在某种程度上“不是内在的”，而只是出现在“像我们这样的观察者”身上？

我再次怀疑答案是“是”。但现在我们作为观察者的特点是，我们从多个、独立的过程或实验的角度来思考宇宙。我们进行设置，以便我们可以集中精力，比如说，两个粒子的散射，这两个粒子最初与其他一切充分分离，独立于它。但如果没有这种分离，我们就没有真正的方法来可靠地“计算粒子”，并描述特定粒子所发生的情况。

实际上，在简单的元胞自动机中可以直接模拟这一点。左边是一个涉及“分离的可数粒子”的过程；右边——使用完全相同的规则——是不存在类似的基于粒子的“渐近状态”的规则：

四、所有计算可约性都是数值的吗？

正如我们所讨论的，即使具有简单的基本规则，许多系统也会以计算上不可简化的方式运行。但是，当存在计算可简化性时——从某种意义上说，当我们可以成功地在计算中“跳跃式前进”时——数字是否总是参与其中？

在类似情况下

当行为明显重复时，数字是弄清楚将要发生什么的明显途径。想知道系统在第t步会做什么？只需获取数字t并对其进行一些“数值计算”（这里通常涉及模运算）并立即得到结果。

但很多时候你最终会将 t 视为“名义上的数字”。考虑这样的嵌套模式：

可以以减少计算的方式计算出步骤t 的行为，但它涉及到将t视为一个数字（可以说，可以对其进行算术运算），而更多地只是按位计算的一系列位类似BitXor 的功能。

肯定还有其他情况，在计算中跳跃的能力特别依赖于数字的属性。一个有点特殊的例子是元胞自动机，它的行可以被认为是基数为 6 的数字的数字，每一步都会乘以 3（这个过程对于数字来说是局部的并不明显，“元胞自动机风格” “，但它是）：

在这种情况下，对被视为数字的行进行重复平方很快就能得到结果——尽管实际上t再次更多地用于其数字而不是其“数值”。

当人们探索计算宇宙时，到目前为止，计算可归约性的最常见来源是重复和嵌套。但其他例子确实出现了。有一些显然是“数字”的。但大多数都不是。通常情况下，会发生这样的情况：有一个替代的、效率更高的程序可以计算与原始程序相同的结果。但更高效的程序仍然“只是一个程序”，与任何涉及数字的东西没有特定的联系。

进行特定计算的基于数字的快速方法通常被视为代表相应数学问题的“精确解”。这种精确的解决方案往往受到高度重视。但它们也往往很少且相距甚远，而且相当具体。

除了重复和嵌套之外，是否还有其他“通用”形式的计算可简化性？总的来说，我们不知道——尽管找出答案是一件很重要的事情。尽管如此，从某种意义上说，我们确实知道另一种计算可约性，并且它在数学科学中得到了广泛的应用：连续性现象。

到目前为止，我们主要讨论的是整数，并且在某种程度上可以用于“计算不同的事物”。但在数学和数学科学中，通常不考虑离散整数，而是考虑实数的连续统。

即使在下面发生一些离散过程（甚至可能显示出计算不可约性），在连续极限中仍然可能存在“数值描述”，比如用微分方程表示。比如说，如果我们看一下元胞自动机，就会发现具有这种连续统极限的例子是相当罕见的。但在我们的物理项目的模型中——内置结构要少得多——似乎几乎是一个通用特征，即存在一个连续统极限，可以用传统数学物理中出现的那种连续方程来描述。

但除了通过限制来导出连续行为之外，我们还可以象征性地指定其变量从一开始就是实数的方程。在这种情况下，人们可能会认为一切都会“以数字来解决”。但实际上，即使在这样的情况下，事情也可能更加复杂。

是的，对于教科书中通常讨论的方程，通常可以得到可以表示为求某些数字函数的解。但如果看看其他方程和其他情况，通常没有已知的方法来获得这些类型的“精确解”。相反，人们基本上必须尝试找到可以近似方程行为的显式计算。

而且，在许多情况下，这种计算最终似乎无法通过计算简化。是的，它们原则上是用数字来完成的。但决定结果的主导力量是一般的计算过程，而不是依赖于数字的特定结构。

顺便说一句，在过去的几十年里，随着越来越多的具有复杂行为的系统的建模完成，基于方程（和数字）的模型发生了巨大的转变，这并非巧合。直接基于计算和计算规则。

五、但我们必须使用数字吗？计算的未来

为什么我们如此频繁地使用数字？这是关于世界的事情吗？或者更多的是关于我们的事情？

我们上面讨论了基础物理学的例子。我们认为，即使在最基本的层面上确实不涉及数字，但我们对宇宙中发生的事情的采样使我们得出了确实涉及数字的描述。在这种情况下，我们对宇宙进行采样的方式的起源深深植根于我们意识的本质，以及我们体验宇宙的基本方式，以及我们特定的感觉器官、在宇宙中的位置等。

数字在科学和工程史上的出现又如何呢？为什么它们在那里如此盛行？从某种意义上说，就像宇宙的情况一样，我认为我们正在处理的底层系统与数字没有任何基本联系。相反，我认为我们选择对这些系统的某些方面进行“采样”，我们可以以某种方式理解或控制这些方面，而这些通常涉及数字。

在科学中，尤其是在物理科学中，我们倾向于专注于设置具有计算可简化性的情境和实验，并且我们可以对将要发生的事情做出合理的预测。类似地，在工程中，我们倾向于建立在计算上可充分简化的系统，以便我们可以预见它们将要做什么。

正如我上面所讨论的，使用数字并不是利用计算可简化性的唯一方法，但它是最熟悉的方法，并且它背后有大量的历史经验。

但我们是否期望计算可简化性将成为科学和工程的一个持续特征？如果我们想充分利用计算，就不可避免地需要引入计算不可约性。这是一门新的科学，也是一门新的工程。在这两种情况下，我们可以预期数字的作用至少会大大减少。

纵观人类历史，数字在人类社会的组织中发挥了相当重要的作用。它们用于保存记录、指定商业价值、定义资源应如何分配、确定治理应如何进行以及无数其他事情。

但事情是否一定如此，或者仅仅是数字提供了一种方便的方式来设置事物，以便我们人类能够理解正在发生的事情？假设我们正在努力实现建立高效的交通系统来运送人员的目标。传统的“基于数字”的做法是让火车在特定的“数字”时间（“每 15 分钟”或其他）运行。

从某种意义上说，这是一个简单的、“计算可简化”的解决方案——例如我们可以很容易理解。但可能存在更好的解决方案，至少如果我们能够利用复杂的计算的话。考虑到谁想去哪里的完整模式，我们可以派遣特定的车辆以任何复杂的安排行驶，以最佳方式将人们运送到目的地。它不会像火车一样，有固定的时间。相反，它将看起来更复杂，并且计算上无法简化。用数字来描述特征并不容易。

我认为这是一个非常普遍的现象：数字提供了一种很好的“计算可简化”方式来设置某些东西。但还有其他可能更有效的方法，可以更认真地利用计算，并涉及计算不可约性，但不依赖于数字。

除非我们在任何地方都拥有复杂的计算，否则这些计算方法都不可能实现。即使在今天，我们也只是处于广泛部署所需计算复杂程度的早期阶段。但作为另一个可以发挥作用的例子，让我们来看看经济系统。

数字最早也是历史上最强大的用途之一是表征货币数量和物价。但“数字价格”是经济体系唯一可能的形式吗？我们已经有大量动态定价的例子，其中没有“标价”，而是人工智能或机器人有效地实时竞价以确定将发生什么交易。

最终，经济系统是基于大型交易网络的。一个人想要一块饼干。收货人想要租一部电影。与上面的运输示例类似，在有足够的计算可用的情况下，我们可以想象这样一种情况：网络中的每个节点都有机器人动态地安排交易并决定什么可以发生和什么不能发生，最终基于由人们。这种设置有点让人想起我们的基础物理学模型——物理学中的因果图现在就像供应链一样。

与物理案例一样，没有必要在最低级别涉及数字。但如果我们想“以人类的方式对系统进行采样”，我们最终会用集体术语来描述它，并可能最终得到一个新兴的价格概念，有点像在这个例子中出现的引力场概念物理学的。

换句话说，如果只是运行我们的经济系统的机器人，它们将“只是进行计算”，而不需要任何特定的数字。但如果我们试图了解正在发生的事情，那就会出现数字。

我怀疑，人类社会组织中数字出现的其他例子也是如此。如果事情必须由人类来实现和理解，那就别无选择，只能利用计算可简化性，而这通常是通过数字来完成的。但是，当事情由人工智能或机器人完成时，就不再需要计算可简化性。

还会有涉及数字的“人类层面的描述”吗？毫无疑问，至少会对正在发生的事情有一些“类似自然科学”的描述。但也许它们最方便地用计算可归约性来表述，计算可归约性是使用数字以外的概念建立的——未来的人类将了解这一点。或者也许数字将成为一个如此方便的“实现层”，以至于它们最终将被用于基本上所有人类层面的描述。

但从根本上讲，我的猜测是，最终数字在人类社会组织中的重要性将会下降，让位于更详细的基于计算的决策。也许最终数字会变得有点像我们今天所使用的中世纪逻辑：一个用于确定事物的框架，但远不如我们现在所拥有的完整和强大。

六、数学中的数字是不可避免的吗？

无论数字在科学、技术和社会中扮演着怎样的角色，数学似乎是一个至关重要的领域。但这真的是必需品吗？还是它只是人类数学特定历史或表现的产物？

一个普遍的观点是，在最基本的层面上，数学应该被视为对某些抽象基本公理的后果的探索。但这些应该是哪些公理呢？历史上曾使用过相当小的一组。第一个问题是这些是否隐式或显式导致数字的出现。

普通逻辑的公理（通常在数学的所有领域中都假设）不具备支持通常的数字概念所需的内容。群论等抽象代数领域的公理以及基本欧几里得几何（至少对于整数）也是如此。但皮亚诺算术公理是专门为支持整数而设置的。

但这里有一个微妙之处。皮亚诺公理实际上所做的是有效地定义抽象结构的某些约束。普通整数是这些约束的一种“解决方案”。但哥德尔定理表明，还存在无数其他解决方案：具有奇怪属性的非标准“数字”，但也恰好遵循相同的总体公理。

因此，在某种意义上，基于皮亚诺公理的数学可以被解释为“关于”普通数字，但它也可以被解释为关于其他奇异的事物。这与集合论的标准公理几乎是一样的：它们生成的数学可以解释为涵盖普通数字，但也可以解释为涵盖其他事物。

但是，如果我们忽略人类数学的历史发展，只是“随机”地选择公理系统，会发生什么？它们很可能没有任何可立即识别的解释，但我们仍然可以继续从中构建整个定理和结果网络。那么，这样的公理系统最终会导致可以解释为数字的结构吗？

这又是一个有点棘手的问题。计算等价原理表明，具有非平凡行为的公理系统通常会表现出计算普遍性。这意味着（至少在某种元数学意义上）可以在其中设置任何其他公理系统的编码。

因此，特别是应该可以重现支持数字所需的内容。（同样，这里有一些与公理模式有关的微妙之处，以及它们在支持归纳概念中的使用，这似乎是数字思想的核心。）但是，如果我们只看来自特定公理系统的原始定理——比如说由自动定理证明系统生成的数据——很难判断什么可以被解释为“与数字相关”。

但是，如果我们将自己限制在已经被人类证明的数学结果上——其中有几百万个呢？最近有许多努力将至少数万个这样的公理形式化，并展示它们如何从特定的公理中形式化地导出。

但现在我们可以问这些结果的依赖性是什么。他们中有多少人需要“了解数字的概念”？我们可以通过在特定的数学形式化系统（此处为Metamath）上进行“经验元数学”来了解这一点：

我们看到的是，至少在人类数学形式化中，数字似乎确实发挥着非常核心的作用。当然，这并不能告诉我们原则上的结果（例如拓扑学）是否可以“无需数字”证明；它只是告诉我们，在这个特定的形式化中，数字是用来做到这一点的。

我们也无法判断数字是否只是“方便证明”，或者实际上选择形式化的实际数学结果是否在某种程度上基于它们通过数字的“可访问性”。

给定任何（通用）公理系统，可以从中证明无数定理。但问题是：这些定理中哪些会被认为是“有趣的”？人们应该预料到，可以用历史上在人类数学中广为人知的概念（例如数字）来解释的定理将更受青睐。

但这只是数学史上的一个偶然故事，还是另有隐情？

关于数学基础的传统观点涉及想象选择一些特定的公理系统，然后数学是对该公理系统的含义的某种探索。这类似于这样的说法：为宇宙的潜在模型选择一些特定的规则，然后看看它会产生什么后果。

但我们已经意识到，至少在研究宇宙时，我们从根本上不必选择特定的规则：相反，我们可以构建一个规则的多路系统，在该系统中，实际上所有可能的规则都同时存在用过的。我们可以想象对数学做类似的事情。不必选择特定的基础公理系统，只需考虑同时计算出所有可能的公理系统的结果所构成的结构即可。

由此产生的物体似乎与更高范畴论中出现的无穷群群等事物密切相关。但这里重要的一点是，在某种意义上，这个对象是所有可能的数学形式中所有可能结果的表示。但现在的问题是：我们人类应该如何对此进行采样？如果我们在某种意义上受到计算的限制，我们基本上必须选择一个特定的“参考系”。

这似乎与物理学有着密切的类比。就物理学而言，我们意识的基本特征似乎将我们限制在某些类型的参考系中，从中我们不可避免地“解析”整个规则的多路系统，以遵循已知的物理定律。

因此，也许数学中也发生了类似的事情。也许在这里，与意识的基本特征非常相似的东西也限制了我们对限制规则对象的采样。但是，物理定律的类似物是什么呢？据推测，它们将是某种尚未发现的一般“体元数学定律”。也许它们对应于“我们采样的数学”的整体结构原理（可能与范畴论有关）。或者，也许——就像物理学中的空间和时间一样——它们实际上不可避免地会导致类似于数字的东西。

换句话说，也许——就像在物理学中，数字的出现可以被认为是我们作为观察者的特征的反映——数学中也可能出现这种情况。也许即使是考虑到我们人类特征的最基本轮廓，我们也不可避免地会认为数字是数学的核心。

但是我们的外星人在他们的星际飞船里呢？在物理学中，我们已经意识到，我们对宇宙的看法——以及我们认为宇宙遵循的物理定律——并不是唯一可能的观点，而且其他类型的观察者可能有与我们的观点完全不一致的观点。数学也是如此。我们有一个特定的观点——这可能最终基于我们意识的特征之类的东西——但这并不是唯一可能的观点。可能还有其他的仍然描述相同的限制性规则对象，但与我们习惯的完全不一致。

不用说，当我们甚至可以谈论“外星人乘坐星际飞船抵达”时，我们必须假设他们的“宇宙观”（或者实际上，他们在规则空间中的位置）并不遥远来自我们自己的。也许这也意味着“数学观”的某种一致性，甚至可能使数字变得不可避免。

但从抽象的角度来看，我认为我们可以预期，存在着与我们自己的观点不一致的“数学观点”，虽然在某种意义上它们“仍然是数学”，但它们不具有任何熟悉的特征。我们对数学的典型看法，就像数字一样。