一、摊还分析

        概念：是求数据结构中一个操作序列执行所有操作的平均时间，与平均复杂度不同，它不涉及输入概率，能够保证在最坏情况下操作的平均性能。

        适用场景：用含 n 个操作的序列（o1，o2，,,,,on） 维护某数据结构

        操作代价：单次操作代价可能会很大，在最坏情况下代价为 max(oi)

二、摊还分析的三种方法

        以栈的操作为例，说明摊还分析的三种方法

        栈操作

        基本原则：先进后出

        基本操作： 

               ① POP(S)：将栈 S 的栈顶对象弹出，并返回该对象 代价为O(1)

               ② PUSH(S,x)：将对象 x 压入栈 S 中    代价为O(1)

                （一个含有n个PUSH和POP操作的序列的总代价为n，n个操作的实际运行时间为O(n)）

               ③ MULTIPOP(S,k)：弹出栈 S 的栈顶 k 个对象   代价为 O( min(s,k) )

        1.聚合分析

         如果对所有的 n ，一个 n 个操作的序列最坏情况下花费的总时间为T(n)，那么在最坏情况下，每个操作的平均代价，或摊还代价为 T(n) / n 。此外，摊还代价是适用于每个操作的，即使序列中有多种类型的操作也是如此。

         假设栈的大小最大为 n ，则执行MULTIPOP操作的最坏情况是 O(n)，因此，一个 n 个操作的序列的最坏情况为  ，操作序列包含了 n 个MULTIPOP操作（n*n）。

        然而，考虑整个序列的 n 个操作，PUSH 和 POP 的代价为1，最坏的情况下，一定是前 n-1次操作都是 PUSH，最后一次 MULTIPOP(S,n-1)，此时的代价为 2*(n-1)=2*n-2，时间复杂度为 O(n)，平均每个操作的摊还代价为 O(1)

        2.核算法

        对于不同操作赋予不同费用，某些操作的费用可能多于或少于其实际代价。 赋予一个操作的费用，称为它的摊还代价。 当一个操作的摊还代价超出其实际代价时，差额部分存入数据结构中的特定对象，存入的差额称为信用。 对于后续操作中摊还代价小于实际代价的情况，信用可以用于支付差额。 需要确保操作序列的总摊还代价是序列总真实代价的上界。

        同样，对于栈操作，赋予其费用（如图）

        PUSH操作的摊还代价为 2 ，相当于进栈时的代价1 + 压入对象出栈的代价1，此时POP和MULTIPOP操作的摊还代价为 0，对于一个n个操作序列，最坏的情况就是 n 个PUSH操作，此时代价为 2n，时间复杂度为 O(n)。

 

         3.势能法

            与核算法相似，势能法摊还分析并不将预付代价表示为特定对象的信用，而是表示成“势能”，将势能释放即可用来支付未来操作的代价。

        摊余成本 = 真实开销 + 新势能 – 旧势能

        假设 n 个操作将数据结构从 D0 修改为 D1 直至…Dn.

        令 Φ(D) 代表数据结构 D 的势.

        令 ci 代表第 i 个操作的真实代价.  令 ĉi 代表第 i 个操作的摊还代价.

                            

        对于势能的理解，若，则操作 i 在数据结构中存入能量以便以后使用

                                     若，则数据结构为操作 i 提供能量执行

          根据累加有：

                                

                                            

                        总摊还代价是总实际代价的一个上界

             栈操作：

             将栈的势函数定义为其中的对象数量，对于其实空栈D0，有 Φ(D0)=0

             因此第 i 步操作得到的栈具有非负的势 Φ(Di) >= 0 = Φ(D0)，则用Φ定义的n个操作的总摊还代价是实际代价的上界。

              假定PUSH ,POP操作的代价为1，MULTIPOP操作的代价为 k，且规定压入栈一个对象势能+1，弹栈一个对象势能-1。

              如果第 i 个操作是PUSH操作，且栈中有 s 个对象

               势差为：     Φ(Di)-Φ(Di-1) = (s + 1) – s = 1

              摊还代价是：     ĉi=ci+ Φ(Di) - Φ(Di-1) = 1+1 = 2  （核算法）

三、动态表中插入操作代价的摊还分析 

        当动态表中空间不足时，申请更多内存增大动态表中的空间，并重新插入旧元素。

        插入元素操作的思路：当空间不足时，将动态表中的内存*2，并且将所有旧元素插入至新的动态表中。插入开销为：

         1.聚合分析：

                根据上述 Ci 的值，将所有代价相加求和：

            总代价为T(n)= ，为 O(n)，摊还代价为 O(1)

        2.核算法

                第 i 次插入支付费用为 3 （包含此次插入的开销1+重新插入元素1+重新插入旧元素1）

   则对于一个含有n个操作的序列总代价为 3n，时间复杂度为 O (n)，每个操作的摊还代价为O(1)

        3.势能法

     定义势函数为： Φ(T)=2 * T.num – T.size（T.num为动态表中元素个数，T.size为动态表容量）

        ①一次扩张后： T.size=2*(T.num-1)，Φ(T)=0 （扩张后 T.num-1 为 2 的幂）

        ②扩张前： T.num=T.size Φ(T)=T.num （扩张前 T.num 为 2 的幂）

        未触发动态表扩张

        

        触发动态表扩张

 

         4.关于动态表的插入与删除的思考

          对于动态表中的元素，可能增加，也可能减少，总是维护大表浪费空间，同时支持元素插入和删除操作。

        动态表空间想法：

        ① 当表溢出时，将表的空间增大一倍

        ② 当表不足 1/2 满时，将表的空间缩减一半。

出现性能不佳：在表满的时候，持续执行插入 删除 插入 删除 插入等操作，此时会不断的扩张和缩减容量。 -------> 将②中 1/2 改为 1/4，可以适当减少此情况的发生

        势能法分析：

插入元素时： 

           情况一： αi-1 >= 1/2  上述势能法已有

           情况二： αi-1 < 1/2, 且αi < 1/2

           情况三： αi-1 < 1/2, 且αi >= 1/2

删除元素时：

         情况一：αi-1 >= 1/2  上述势能法已有

         情况二：αi-1 < 1/2, 且未收缩

        情况三：  αi-1 < 1/2, 且收缩 (  size[i]=2*(num[i]+1)    size[i]*2=size[i-1]  ) 容量仍减半(非1/4) 

 势能变化：

 

每个操作的摊还代价的上界都是一个常数。因此，在一个动态表上执行任意n个操作的实际运行时间是O(n)