一 什么是扩散模型

1.1 现有生成模型

已经有大量的方法证明深度生成模型能够模拟人类的想象思维，生成人类难以分辨真伪的内容，主要方法如下：

1、GAN：用神经网络训练生成器和判别器

• GAN 的主要思想：
  GAN 就是一个互搏的过程，要训练两个网络，一个是生成器，一个是判别器
  生成器就是给定一个随机噪声，生成一些东西，我们希望其能生成一个比较逼真的图片，把生成的图片和真实的图片给到判别器，让判别器来看哪些是真图片和假图片，就是 0/1 的判断
  通过两个网络互相学习，互相提高，最后能生成比较真实的图片
• 缺点：
  可解释性较差：GAN 不是概率模型，是通过网络完成的，是隐式的，所以不知道它到底学到了什么，不知道其遵循了什么分布
  训练时不稳定：因为要同时训练两个网络，就有需要平衡的问题，训练不好的话容易模型坍塌
  多样性较差
• 优点：
  GAN 的目标函数是用来以假乱真的，所以保真度和细节都非常好

2、AE、DAE、VAE、VQVAE：

• Auto-Encoder (AE)：
  给定输入 x，经过编码器 encoder 就能得到特征，特征维度会变小，然后在使用解码器，得到一个图像，训练的目标函数是希望解码器的输出能尽可能的重建输入，也正是因为是自己重建自己，所以是自编码器

• Denoising Auto-Encoder (AE)：先对原图输入进行扰乱，后续过程和 AE 一样，依然希望输入能够重建原始的未经过扰乱的输入，这个扰动很有用，会让训练出来的模型非常稳健，不容易过拟合。图片数据本来就是冗余的，所以添加一些扰动后，模型仍然能够学习到很好的特征。

• AE 和 DAE 或者 MAE 其实都是为了学习中间那个 bottleneck 特征 z，学习好了后用于分类、检测等任务，并不是做生成的，其原因在于这里的 z 是专门用来重建的特征，并不是随机噪声，并不能用于采样来生成图像

• 所以就有了 VAE，也就是变分自编码器，VAE 和 AE 是很不同的，虽然结构看起来很像，但很重要的区别是，中间不再是学习一个 bottleneck 的特征，而是学习了一个分布，假设分布是高斯分布，可以用均值和方差来描述，就是从 encoder 得到特征后，加一些 FC 层，来预测均值和方差，得到后用公式采样一个 z 出来，VAE 就可以用来做生成了，因为在训练好后，可以扔掉 encoder，这里的 z 就是能随机抽样出的样本，然后就能生成图片了
  VAE 这里生成的是一个分布，从贝叶斯角度来看，前面的过程是一个后验概率 p(z|x)，就是给定 x 得到 z 的过程，学到的 z 就是一个先验分布，后面的过程是一个先验概率 p(x|z)，就是给定 z 预测 x 的过程，其实就是最大似然，这里做的就是 maximize likelihood。
  VAE 因为是学习的概率分布，是从分布中抽样的，生成的图片的多样性比 GAN 好的多，后面还有一些 VQVAE 和 DALLE 1 都是在 VAE 的基础上做的。
  VAE 其实结构和扩散模型很像，且有较好的理论可解释性，但 Encoder 使用很大的步长来学习数据分布并进行加噪，Decoder 也使用很大的步长来去噪，导致学习的不够细致，很粗糙。

3.Flow-Based对概率密度函数的直接建模，这使得它们在数据生成和推断方面具有优势，并且在潜在空间中的操作更加直观。但是，它们可能在处理复杂数据分布时受限，因为需要设计适合数据分布的逆变换

• 与其他生成模型原理区别：
  Flow-based模型：这种模型通过学习数据的概率密度函数来进行生成。它们学习了数据的分布，并利用这种分布来生成新的样本。
  VAE：变分自编码器利用潜在变量的分布来建模数据。它通过编码器将输入数据映射到潜在空间中，并通过解码器从潜在空间中的采样重建输入数据。
  GAN：生成对抗网络通过生成器生成假样本，同时使用鉴别器来区分真实和假的样本。生成器和鉴别器相互竞争，以提高生成器生成逼真样本的能力。

1.2 扩散模型

前向扩散：在输入 x₀ 上逐步加噪声，一共加 T 次，最终变成一个真正的噪声，各向同性正态分布
逆向去噪：从最终的 x_T 逐步恢复原图的过程，使用的是共享参数的 U-Net 结构

• 扩散模型发展历程：
  DDPM → improved DDPM → Diffusion beats GAN → GLIDE → DALLE2 → Imagen

• 扩散模型的理论来源
  扩散模型背后的直觉来源于物理学：
  在物理学中，气体分子从高浓度区域扩散到低浓度区域
  这与由于噪声的干扰而导致的信息丢失是相似的
  通过引入噪声，然后尝试去噪来生成图像，模型每次在给定一些噪声输入的情况下学习生成新图像。
  扩散模型（Diffusion Model）起源于非均衡热动力学（non-equilibrium thermodynamics），是一类基于概率似然（likelihood）的生成模型。

• 扩散模型的使用场景
  扩散模型可以用到哪些任务上：
  计算机视觉，语言模型，声音模型，AI for science
• 扩散模型的应用场景：
  图文生成，视频生成，分子结构生成，AI 绘画，AI 制药，…

• 扩散模型的基本结构
  扩散模型的工作原理：
  学习由于噪声引起的信息衰减，然后使用学习到的模式来生成图像

• 扩散模型的结构：
  扩散模型定义了一个扩散步骤的马尔可夫链，慢慢地向数据中添加随机噪声，也就是熵增的过程，然后学习逆向扩散过程，从噪声中构建所需的数据样本
  前向扩散过程 q：为输入图像 x₀ 引入一系列的随机噪声，也就是对样本点分 T 步添加高斯噪声，随着噪声的引入， x₀ 最终会失去区分特性
  逆向恢复过程 p：从高斯先验出发，从有大量随机噪声的图中学习恢复原图

• 扩散模型相比 GAN 或 VAE 的缺点：
  速度慢：扩散模型是基于马尔科夫过程来实现的，在训练和推理的时候都需要很多步骤

• 当前对扩散模型的研究主要围绕三种主流的实现：
  去噪扩散概率模型（Denoising Diffusion Probabilistic Models / DDPMs）
  基于分数的生成模型（Score-based Generative Models / SGMs）
  随机微分方程（Stochastic Differential Equations / Score SDEs）
• 随机微分方程（SDEs）
  SDEs是描述扩散模型中噪声添加过程的数学工具。就像是一个详细的步骤图，展示了噪声是如何随着时间逐步添加到数据中的。这个框架非常重要，因为它赋予了扩散模型处理不同类型数据和应用的灵活性，使它们能够为各种生成任务量身定制：
• 分数生成模型(SGMs)
  该部分是模型学习理解和逆转噪声添加过程的地方。这个过程就像是让模型学会了一种特殊的逆向思维。举个简单的例子，如果一张图片被加了一堆乱七八糟的噪声，最后变得啥也看不清了，那我们怎么把它变回原来的样子呢？分数生成建模就是教模型怎么从这些乱七八糟的噪声中，一步步地把清晰的图像找回来。这就像是在一堆混乱中找到秩序，最后从一堆噪音里变出一张清晰的图片。这对于我们从一堆随机的噪声中创造出看起来真实的图像来说，是非常关键的。
• 去噪扩散概率模型（DDPMs）
  去噪扩散概率模型（DDPMs）就像是数据的清洁专家。在训练的时候，它们就像是在观察一个过程：数据是怎么一步步被噪声弄脏的，然后它们学会了怎么一步步地把这些噪声清理掉，让数据恢复到原来的样子。这个过程就像是在玩一个猜谜游戏，用概率来猜在噪声出现之前，数据本来长什么样。这样的方法让模型不仅能把噪声去掉，还能让数据看起来和原来几乎一模一样，这对于那些需要精确数据重建的任务来说特别重要。

• 当前最流行的扩散模型包括：
  

二 扩散模型介绍

2.1 符号和定义

1、State：状态
State 是能够描述整个扩散模型过程的一系列数据：
初始状态：starting state x₀
prior state：离散时为 x_T ，连续时为 x ₁
中间状态：intermediate state x_t
​

2、Process 和 Transition Kernel
Forward/Diffusion 过程 F：将初始状态转换到有噪声的状态
Reverse/Denoised 过程 R：和前向过程方向相反，从有噪声的图像中逐步复原原图的过程
Transition Kernel：在上面的两个过程中，每两个 state 的变换都是通过 transition kernel 来实现的，

F_t 和 R_t 分别是 t时刻从状态 _t-1 转换成状态 x_t 的前向 transition kernel 和逆向 transition kernel
σ_t 是噪声尺度
最常用的 transition kernel 是 Markov kernel，因为其具有较好的任意性和可控性

2.2 前向过程

推导过程来自：https://zhuanlan.zhihu.com/p/624617160
加噪过程：不断地往输入数据中加入噪声，直到其就变成纯高斯噪声，每个时刻都要给图像叠加一部分高斯噪声。其中后一时刻是前一时刻增加噪声得到的。

重参数化的技巧：简单来说就是，如果想要从一个任意的均值μ方差σ^2的高斯分布中采样。可以首先从一个标准高斯分布（均值0，方差1）中进行采样得到ε，然后μ + σ·ε就等价于从任意高斯分布中进行采样的结果。

推导过程：
根据DDPM的到公式
根据重参数化，得到x_t和x_t-1的关系
根据推导，得出x_t和x₀的关系

2.3 后向过程

去噪过程：由一个纯高斯噪声出发，逐步地去除噪声，得到一个满足训练数据分布的图片。

推导过程：
第一步：根据P(A|B)=P(AB)/P(B)
第二步：巧妙的将后向过程全部变成了前向过程

2.4 训练与采样

训练：
首先每个迭代就是从数据集中取真实图像x0，并从均匀分布中采样一个时间步t，然后从标准高斯分布中采样得到噪声ε，并根据公式计算得到xt。接着将xt和t输入到模型让其输出去拟合预测噪声ε，并通过梯度下降更新模型，一直循环直到模型收敛。而采用的深度学习模型是类似UNet的结构

采样（生成）：
模型训练好之后，在真实的推理阶段就必须从时间步T开始往前逐步生成图片，算法描述如下：
一开始先生成一个从标准高斯分布生成噪声，
然后每个时间步t，将上一步生成的图片xt输入模型模型预测出噪声。
接着从标准高斯分布中采样一个噪声，根据重参数化技巧，后验概率的均值和方差公式，计算得到xt-1，直到时间步1为止。

训练损失