图搜索算法-最短路径算法-戴克斯特拉算法

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最短路径算法

自从有了导航，人们再也不怕去陌生地方，说走就走的旅行一点都不困难。打开导航，它总能告诉你怎样去到想要去的地方，并且往往已经是优化了的路线，路程最短或用时最少。社交应用已经占据手机使用的大部分时间了，在微信，英领，QQ等平台上查看朋友简介，平台也会告诉我们谁是大家共同朋友，或者告诉你，某个人和你有共同朋友，要不你们也认识一下。这些都是应用了最短路径算法，通过算法可以快速给出两点之间的最短距离，可以计算两点间成本最低的路线。解决最短路的问题有好几种算法，戴克斯特拉（Dijkstra）算法，贝尔曼-福特（Bellman-Ford）算法，插点算法（Floyd）等。

戴克斯特拉算法（Dijkstra）

虽然导航好像在最近10几年才普及使用，但早在1960年美国已经开始利用军事卫星来做导航，而戴克斯特拉（Dijkstra）算法早在1956年被荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉提出。它用于求解从单源结点到图中所有其他结点的最短路径，下面来分析这个算法是怎样运行的，首先来构建一个有权无向图，如图所示。
在这里插入图片描述
（1）设定结点【A】为源结点。
（2）创建一个集合【short_path_set】记录已计算的最小距离结点，也称为最短路径树集合。刚开始的时候，集合为空。
（3）创建一个字典【distance】记录源结点与每个结点的最小距离值，初始化为源结点的距离0，其余结点为无穷大(Max)，【“A”:0, Max, Max, Max, Max, Max, Max, Max, Max】。现在把源结点放到【short_path_set】集合中，然后它相邻的结点是【D】和【E】，这时候可以更新【distance】为【“A”:0, “D”:4, “E”:6, Max, Max, Max, Max, Max, Max】，如图所示。

在这里插入图片描述

注意：圆圈内的代表是结点值，上面的数值代表结点到源结点的距离，灰色圆圈代表已经在【short_path_set】集合中。

（4）选取【distance】里面最小距离值，并且不在【short_path_set】集合中的结点，因此选择结点【D】，并放进集合中。然后更新结点【D】相邻结点的距离，如图所示。
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（5）按同样的方式寻找下一个结点，此时为结点【E】，然后更新该结点邻近结点的距离，如图所示。

（6）这时候【distance】的值为【“A”:0, “D”:4, “E”:6, “B”:12, “H”:17, “F”:10, Max, Max, Max】，【short_path_set】的值为（“A”,“D”,“E”），这时候按同样方式挑选结点【F】，然后更新邻接节点，便发现结点【H】的距离发生改变，如图所示。
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（7）然后挑选结点【B】，然后更新邻接节点，这个时候结点【H】的距离又缩小为13，如图所示。

（8）同理挑选结点【C】，然后更新邻接节点，如图所示。

（9）后面按同样方式挑选结点【H】，再到结点【M】，最后是结点【J】，直到所有结点都包含到【short_path_set】集合中，最后结果如图所示。
在这里插入图片描述
最终【distance】的值为【“A”:0, “D”:4, “E”:6, “B”:12, “H”:13, “F”:10, “C”:12, “M”:19, “J”:22】。此算法需要遍历所有结点，而且要对每个结点遍历所有邻接结点，因此极端情况下，所有结点都互相邻接，那么它的时间复杂度为O(N^2)，N为结点数量。空间上主要用到一个大小为Ｎ的【distance】列表来保存每个结点到源结点的最小距离，因此空间复杂度为O(N)。

注意：这个算法和前面最小生成树里面的普里姆算法非常相似，普里姆算法中的结点键值不是累加起来，而是一条边上的权重和相邻结点的键值和。

现在用代码把上面的运算过程表现出来，首先创建【GraphDijkstra】类继承【GraphArray】类带有邻接矩阵录入功能，dijkstra()函数是算法主程序，最后结果通过print_result()函数输出每个结点到源结点的最短距离。

import sys  # 引入系统参数，获取系统支撑的最大值
class GraphDijkstra(GraphArray):
    """这是寻找单源结点到其余结点的最短路径"""
    def print_result(self, dist): 
        print("结点 \t距离源结点的距离")
        for v in range(self.amount): 
            print(self.points[v], "\t", dist[v])
    def min_distance(self, dist, short_path_set):
        # 寻找结点到源结点最短距离
        min_dist = sys.maxsize #初始化最小距离为系统最大值
        for v in range(self.amount):
            # 寻找最小距离的结点，并且不在最短路径树集合中
            if dist[v] <= min_dist and v not in short_path_set: 
                min_dist = dist[v] 
                min_index = v 
        return min_index 
    def dijkstra(self, source):
        # dijkstra算法主程序，遍历所有结点，放进short_path_set集合中，求得所有结点到源结点的最小距离
        distance = [sys.maxsize] * self.amount 
        distance[source] = 0
        short_path_set = set() # 初始化集合为空
        for _ in range(self.amount):
            # 寻找最小距离的结点，并且不包含在最短路径树集合中
            # 而且源结点总是作为第一个结点进入集合
            u = self.min_distance(distance, short_path_set)
            short_path_set.add(u) # 把结点添加到集合中
            # 重新遍历邻接结点，更新结点间最小距离的值
            for v in range(self.amount): 
                if self.graph[u][v] > 0 and v not in short_path_set and distance[v] > distance[u] + self.graph[u][v]: 
                        distance[v] = distance[u] + self.graph[u][v] #符合条件，更新最短路径值
        self.print_result(distance) # 输出结果

根据例子，构建一个邻居矩阵作为输入，来验证程序。

g = GraphDijkstra(['A','B','C','D','E','F','H','M','J']) 
g.graph = [[0, 0, 0, 4, 6, 0, 0, 0, 0], 
        [0, 0, 9, 8, 0, 0, 1, 7, 0], 
        [0, 9, 0, 0, 0, 2, 0, 11, 10], 
        [4, 8, 0, 0, 0, 0, 13, 0, 0],
        [6, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0], 
        [0, 0, 2, 0, 4, 0, 5, 0, 0], 
        [0, 1, 0, 13, 0, 5, 0, 0, 0], 
        [0, 7, 11, 0, 0, 0, 0, 0, 3], 
        [0, 0, 10, 0, 0, 0, 0, 3, 0] 
        ]; 
g.dijkstra(0)  # A作为源结点
# -------------结果-------------------
结点      距离源结点的距离
A        0
B        12
C        12
D        4
E        6
F        10
H        13
M        19
J        22