🍄题目描述
为了配平一个化学方程式，我们可以令方程式中各物质的系数为未知数，然后针对涉及的每一种元素，列出关于系数的方程，形成一个齐次线性方程组。然后求解这个方程组，得到各物质的系数。这样，我们就把化学方程式配平的问题，转化为了求解齐次线性方程组的问题。 如果方程组没有非零解，那么这个方程式是不可以配平的。反之，如果方程组有非零解，我们就可能得到一个配平的方程式。当然，最终得到的方程式仍然需要结合化学知识进行检验，对此我们不再进一步考虑，仅考虑非零解的存在。
例如要配平化学方程式：Al2(SO4)3+NH3⋅H2O→Al(OH)3+(NH4)2SO4Al2(SO4)3+NH3⋅H2O→Al(OH)3+(NH4)2SO4
首先假定所有物质在方程的同一侧，即不考虑哪个是反应物，哪个是生成物，分别设这些物质的系数为 𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4x1,x2,x3,x4，则可以针对出现的各个元素，列出如下的方程组：
用矩阵的形式表示为：
对系数矩阵实施高斯消元，得到系数矩阵的一个行阶梯形式：
由此可见，系数矩阵的秩为 3。根据线性代数的知识，我们知道，齐次线性方程组 𝐴𝑋=0AX=0 的解空间的维数等于其未知数个数减去系数矩阵的秩 rank𝐴rankA。而要让方程式配平，即要求方程组存在非零解， 那么就需要让解空间的维数大于 00，即系数矩阵的秩小于未知数个数。因此，我们可以通过判断系数矩阵的秩是否小于未知数个数，来判断方程式是否可以配平。如果可以配平，则可以通过解的符号来判断反应物和生成物的位置。
本题中，我们将给出一些化学方程式，请你按照上述方法判断它们是否可以配平。为了便于程序处理，我们用到的化学式，会被化简为只包含小写字母和数字的字符串，不包含括号。 其中连续的字母表示一种元素，随后的数字表示原子个数。原子个数为 1 时不省略数字；一个化学式中包含的元素不重复。例如，上述方程式中的化学式可以化简为 al2s3o12、n1h5o1、al1o3h3、n2h8s1o4。
输入格式
从标准输入读入数据。
输入的第一行包含一个正整数 𝑛n，表示需要判断的化学方程式的个数。
接下来的 𝑛n 行，每行描述了一个需要被配平的化学方程式。包含空格分隔的一个正整数和全部涉及物质的化学式。其中，正整数 𝑚m 表示方程式中的物质；随后的 𝑚m 个字符串，依次给出方程式中的反应物的化学式和生成物的化学式。
输出格式
输出到标准输出。
输出包含 𝑛n 行，每行包含字母 Y 或 N，表示按题设方法，所给待配平化学方程式能否配平。
🍄AC代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//统计某物质中的全部元素个数
map<string,int> analyse(string s){
map<string,int> mmap;
string element="";
string number="";
int flag=0; // 0表示元素，1表示元素个数
for(int i=0;i<s.length();i++){
if(!(s[i]>='0'&&s[i]<='9')){
//字母
if(flag==1){
//从数字转为字母，说明循环到新的元素了，需要把上一个元素的数量放入map
flag=0;
//此时element和number都表示上一个元素的，放入map后需清空
mmap[element]=stoi(number);
element="";
number="";
}
element+=s[i];
}else{
//数字
if(flag==0){
flag=1;
}
number+=s[i];
}
}
mmap[element]=stoi(number);
return mmap;
}
//计算矩阵的秩
int compute_zhi(vector<vector<double>> matrix){
int m=matrix.size(),n=matrix[0].size();
for(int pos=0;pos<n;pos++){
if(matrix[pos][pos]==0){
//在剩余行中找到第一列数字不为0的行与当前行交换
int flag=0;
for(int i=pos+1;i<m;i++){
if(matrix[i][pos]!=0){
flag=1;
swap(matrix[i],matrix[pos]);
}
}
if(!flag) continue; //如果其余行的第一列都为0，则跳过本轮循环
}
for(int i=pos+1;i<m;i++){
double t=matrix[i][pos]/matrix[pos][pos];
if(t==0) continue; //倍数为0，整行元素不变，跳过
for(int j=pos;j<m;j++)
matrix[i][j]=matrix[i][j]-matrix[pos][j]*t;
}
}
//对最后一列元素从倒数第一行遍历，统计为0的行数，矩阵的秩=总行数-0的行数
int cnt=0,p=m-1;
while(matrix[p--][n-1]==0) cnt++;
return m-cnt;
}
//判断化学方程式否能配平
void judge(int n){
string s;
vector<map<string,int>> v; //记录每个物质中的元素个数
map<string,int> ele_sort; //记录元素在矩阵中的行下标
int cur_sort=0; //当前元素行下标
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>s;
//统计物质中每个元素的个数
map<string,int> mmap=analyse(s);
v.push_back(mmap);
for(auto it=mmap.begin();it!=mmap.end();it++){
//如果物质中的某元素还未出现过，则放入元素集合中
if(ele_sort.find(it->first)==ele_sort.end()){
ele_sort[it->first]=cur_sort++;
}
}
}
//生成二维矩阵
vector<vector<double>> matrix(ele_sort.size(),vector<double>(n));
for(int i=0;i<n;i++){
for(auto it=v[i].begin();it!=v[i].end();it++)
matrix[ele_sort[it->first]][i]=it->second;
}
if(matrix.size()<n){
//如果元素个数小于物质个数，一定能配平
cout<<"Y"<<endl;
}
else{
//计算矩阵的秩并判断
int r=compute_zhi(matrix);
if(r<n) cout<<"Y"<<endl;
else cout<<"N"<<endl;
}
}
int main(){
int n,m;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++){
int m;
cin>>m;
judge(m);
}
return 0;
}
