图的概念、性质和存储与简单遍历

前置知识：树的基本概念及性质

为了保证学习效果，请保证已经掌握前置知识之后，再来学习本章节！如果在阅读中遇到困难，也可以回到前面章节查阅。

学习目标

掌握图的基本概念
掌握图的一些性质

图的概念

基本概念

图 (Graph) 是一个二元组 𝐺=(𝑉(𝐺),𝐸(𝐺))G=(V(G),E(G)) 。其中 𝑉(𝐺)V(G) 是非空集，称为 点集 (Vertex set) ，对于 𝑉V 中的每个元素，我们称其为 顶点 (Vertex) 或 节点 (Node) ，简称点； 𝐸(𝐺)E(G) 为 𝑉(𝐺)V(G) 各结点之间边的集合，称为 边集 (Edge set) 。

常用 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 表示图。

当 𝑉,𝐸V,E 都是有限集合时，称 𝐺G 为 有限图 。

当 𝑉V 或 𝐸E 是无限集合时，称 𝐺G 为 无限图 。

图有多种，包括 无向图 (Undirected graph) ， 有向图 (Directed graph) ， 混合图 (Mixed graph) 等

若 𝐺G 为无向图，则 𝐸E 中的每个元素为一个无序二元组 (𝑢,𝑣)(u,v) ，称作 无向边 (Undirected edge) ，简称 边 (Edge) ，其中 𝑢,𝑣∈𝑉u,v∈V 。设 𝑒=(𝑢,𝑣)e=(u,v) ，则 𝑢u 和 𝑣v 称为 𝑒e 的 端点 (Endpoint) 。

若 𝐺G 为混合图，则 𝐸E 中既有向边，又有无向边。

若 𝐺G 的每条边 𝑒𝑘=(𝑢𝑘,𝑣𝑘)ek=(uk,vk) 都被赋予一个数作为该边的权，则称 𝐺G 为 赋权图 。如果这些权都是正实数，就称 𝐺G 为 正权图 。

形象地说，图是由若干点以及连接点与点的边构成的。

图上的关系

点与点——邻接

在无向图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 中，对于两顶点 𝑢u 和 𝑣v ，若存在边 (𝑢,𝑣)(u,v) ，则称 𝑢u 和 𝑣v 是 相邻（邻接）的 。

一个顶点 𝑣∈𝑉v∈V 的 邻域 (Neighborhood) 是所有与之相邻的顶点所构成的集合，记作 𝑁(𝑣)N(v) 。

PS：邻接表存储的就是邻域，并且由此得名。

点与边——关联

在无向图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 中，若点 𝑣v 是边 𝑒e 的一个端点，则称 𝑣v 和 𝑒e 是 关联的。

度数

与一个顶点 𝑣v 关联的边的条数称作该顶点的 度 (Degree) ，记作 𝑑(𝑣)d(v) 。特别地，对于边 (𝑣,𝑣)(v,v) ，则每条这样的边要对 𝑑(𝑣)d(v) 产生 22 的贡献。

对于无向简单图，有 𝑑(𝑣)=∣𝑁(𝑣)∣d(v)=∣N(v)∣ 。

握手定理（又称图论基本定理）：对于任何无向图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) ，有 ∑𝑣∈𝑉𝑑(𝑣)=2∣𝐸∣∑v∈Vd(v)=2∣E∣ ，即无向图中结点度数的总和等于边数的两倍。有向图中结点的入度之和等于出度之和等于边数。

推论： 在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。

证明：反证法

简单图

自环 (Loop) ：对 𝐸E 中的边 𝑒=(𝑢,𝑣)e=(u,v) ，若 𝑢=𝑣u=v ，则 𝑒e 被称作一个自环。

重边/平行边 (Multiple edge) ：若 𝐸E 中存在两个完全相同的元素（边） 𝑒1,𝑒2e1,e2 ，则它们被称作（一组）重边。

简单图 (Simple graph) ：若一个图中 没有自环和重边，它被称为简单图。非空简单无向图中一定存在度相同的结点。

如果一张图中有自环或重边，则称它为 多重图 (Multigraph) 。

在无向图中 (𝑢,𝑣)(u,v) 和 (𝑣,𝑢)(v,u) 算一组重边，而在有向图中， 𝑢→𝑣u→v 和 𝑣→𝑢v→u 不为重边。

在题目中，如果没有特殊说明，是可以存在自环和重边的，在做题时需特殊考虑。

路径

途径 (Walk) / 链 (Chain) ：一个点和边的交错序列，其中首尾是点—— 𝑣0,𝑒1,𝑣1,𝑒2,𝑣2,…,𝑒𝑘,𝑣𝑘v0,e1,v1,e2,v2,…,ek,vk ，有时简写为 𝑣0→𝑣1→𝑣2→⋯→𝑣𝑘v0→v1→v2→⋯→vk 。其中 𝑒𝑖ei 的两个端点分别为 𝑣𝑖−1vi−1 和 𝑣𝑖vi 。通常来说，边的数量 𝑘k 被称作这条途径的长度（如果边是带权的，长度通常指路径上的边权之和，题目中也可能另有定义）。（以下设 𝑤=[𝑣0,𝑒1,𝑣1,𝑒2,𝑣2,⋯,𝑒𝑘,𝑣𝑘]w=[v0,e1,v1,e2,v2,⋯,ek,vk] 。)

迹 (Trail) ：对于一条途径 𝑤w ，若 𝑒1,𝑒2,⋯,𝑒𝑘e1,e2,⋯,ek 两两互不相同，则称 𝑤w 是一条迹。

路径 (Path) （又称 简单路径 (Simple path) )：对于一条迹 𝑤w ，除了 𝑣0v0 和 𝑣𝑘vk 允许相同外，其余点两两互不相同，则称 𝑤w 是一条路径。

回路 (Circuit) ：对于一个迹 𝑤w ，若 𝑣0=𝑣𝑘v0=vk ，则称 𝑤w 是一个回路。

环/圈 (Cycle) （又称 简单回路/简单环 (Simple circuit) )：对于一条简单路径 𝑤w ，若 𝑣0=𝑣𝑘v0=vk ，则称 𝑤w 是一个环。

!!! warning
关于路径的定义在不同地方可能有所不同，如，“路径”可能指本文中的“途径”，“环”可能指本文中的“回路”。如果在题目中看到类似的词汇，且没有“简单路径”/“非简单路径”（即本文中的“途径”）等特殊说明，最好询问一下具体指什么。

连通

无向图

对于一张无向图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) ，对于 𝑢,𝑣∈𝑉u,v∈V ，若存在一条途径使得 𝑣0=𝑢,𝑣𝑘=𝑣v0=u,vk=v ，则称 𝑢u 和 𝑣v 是 连通的 (Connected) 。由定义，任意一个顶点和自身连通，任意一条边的两个端点连通。

若无向图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) ，满足其中任意两个顶点均连通，则称 𝐺G 是 连通图 (Connected graph) ， 𝐺G 的这一性质称作 连通性 (Connectivity) 。

若 𝐻H 是 𝐺G 的一个连通子图，且不存在 𝐹F 满足 𝐻⊊𝐹⊆𝐺H⊊F⊆G 且 𝐹F 为连通图，则 𝐻H 是 𝐺G 的一个 连通块/连通分量 (Connected component) （极大连通子图）。

有向图

对于一张有向图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) ，对于 𝑢,𝑣∈𝑉u,v∈V ，若存在一条途径使得 𝑣0=𝑢,𝑣𝑘=𝑣v0=u,vk=v ，则称 𝑢u 可达 𝑣v 。由定义，任意一个顶点可达自身，任意一条边的起点可达终点。（无向图中的连通也可以视作双向可达。）

若一张有向图的节点两两互相可达，则称这张图是 强连通的 (Strongly connected) 。

若一张有向图的边替换为无向边后可以得到一张连通图，则称原来这张有向图是 弱连通的 (Weakly connected) 。

与连通分量类似，也有 弱连通分量 (Weakly connected component) （极大弱连通子图）和 强连通分量 (Strongly Connected component) （极大强连通子图）。

𝑛n 个顶点的强连通图最多 𝑛(𝑛−1)n(n−1) 条边，最少 𝑛n 条边。

图的连通性也是竞赛的一个常见考点，相关算法请后面将学习，现在先理解其概念即可。

稀疏图/稠密图

若一张图的边数远小于其点数的平方，那么它是一张 稀疏图 (Sparse graph) 。

若一张图的边数接近其点数的平方，那么它是一张 稠密图 (Dense graph) 。

这两个概念并没有严格的定义，一般用于讨论时间复杂度为 𝑂(∣𝑉∣2)O(∣V∣2) 的算法与 𝑂(∣𝐸∣)O(∣E∣) 的算法的效率差异（在稠密图上这两种算法效率相当，而在稀疏图上 𝑂(∣𝐸∣)O(∣E∣) 的算法效率明显更高）。

特殊的图

完全图

若无向简单图 𝐺G 满足任意不同两点间均有边，则称 𝐺G 为 完全图 (Complete graph) ， 𝑛n 阶完全图记作 𝐾𝑛Kn 。若有向图 𝐺G 满足任意不同两点间都有两条方向不同的边，则称 𝐺G 为 有向完全图 (Complete digraph) 。

环图/圈图

若无向简单图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 的所有边恰好构成一个圈，则称 𝐺G 为 环图/圈图 (Cycle graph) ， 𝑛n ( 𝑛≥3n≥3 ) 阶圈图记作 𝐶𝑛Cn 。易知，一张图为圈图的充分必要条件是，它是 22 - 正则连通图。

星图/菊花图

若无向简单图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 满足，存在一个点 𝑣v 为支配点，其余点之间没有边相连，则称 𝐺G 为 星图/菊花图 (Star graph) ， 𝑛+1n+1 ( 𝑛≥1n≥1 ) 阶星图记作 𝑆𝑛Sn 。

轮图

若无向简单图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 满足，存在一个点 𝑣v 为支配点，其它点之间构成一个圈，则称 𝐺G 为 轮图 (Wheel Graph) ， 𝑛+1n+1 ( 𝑛≥3n≥3 ) 阶轮图记作 𝑊𝑛Wn 。

链

若无向简单图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 的所有边恰好构成一条简单路径，则称 𝐺G 为 链 (Chain/Path Graph) ， 𝑛n 阶的链记作 𝑃𝑛Pn 。易知，一条链由一个圈图删去一条边而得。

树

如果一张无向连通图不含环，则称它是一棵 树 (Tree) 。相关内容详见树基础。

补图

对于无向简单图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) ，它的 补图 (Complement graph) 指的是这样的一张图：记作 𝐺ˉGˉ ，满足 𝑉(𝐺ˉ)=𝑉(𝐺)V(Gˉ)=V(G) ，且对任意节点对 (𝑢,𝑣)(u,v) ， (𝑢,𝑣)∈𝐸(𝐺ˉ)(u,v)∈E(Gˉ) 当且仅当 (𝑢,𝑣)∉𝐸(𝐺)(u,v)∈/E(G) 。

反图

对于有向图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) ，它的 反图 (Transpose Graph) 指的是点集不变，每条边反向得到的图，即：若 𝐺G 的反图为 𝐺′=(𝑉,𝐸′)G′=(V,E′) ，则 𝐸′={(𝑣,𝑢)∣(𝑢,𝑣)∈𝐸}E′={(v,u)∣(u,v)∈E} 。

平面图

如果一张图可以画在一个平面上，且没有两条边在非端点处相交，那么这张图是一张 平面图 (Planar graph) 。一张图的任何子图都不是 𝐾5K5 或 𝐾3,3K3,3 是其为一张平面图的充要条件。对于简单连通平面图 𝐺=(𝑉,𝐸)G=(V,E) 且 𝑉≥3V≥3 ， ∣𝐸∣≤3∣𝑉∣−6∣E∣≤3∣V∣−6 。

学习目标

掌握图的四种存储方法的代码实现
理解图的四种存储方法各自的时间空间复杂度
能够根据题目的要求和数据范围，选择合适存图方式

图的逻辑结构

一张图是由节点和边构成的，一个无向图如下图所示：

什么叫 「逻辑结构」？就是说为了方便研究，我们把图抽象成这个样子。

根据这个逻辑结构，我们可以认为每个节点的实现如下：

// 图节点的逻辑结构
struct node {
    int data;                 // 存当前结点信息
    vector<int> neighbors;  // 存邻接的所有结点
}

看到这个实现，你有没有很熟悉？它和我们之前说的多叉树节点几乎完全一样：

// 树节点的逻辑结构
struct node {
    int data;                 // 存当前结点信息
    vector<int> son;        // 存所有的子结点
}

Copy

不过呢，上面的这种实现是「逻辑上的」，实际上我们很少用这个node类实现图，而是用接下来介绍的几种方法去存储。其中包含我们前面经常提到的 邻接表和邻接矩阵。

图的存储方法

接下来描述图的具体四种存储方式，这四种方式是我们今后和图这种数据结构打交道的接口，请一定要掌握。

首先约定，用 𝑛n 代指图的点数，用 𝑚m 代指图的边数，用 𝑑+(𝑢)d+(u) 代指点 𝑢u 的出度，即以 𝑢u 为出发点的边数。

直接存边

方法

使用一个数组来存边，数组中的每个元素都包含一条边的起点与终点（带边权的图还包含边权）。（或者使用多个数组分别存起点，终点和边权。）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

struct Edge {
    int u, v, w;   // 一条边的 起点、终点、权值
};

int n, m;
vector<Edge> e;
vector<bool> vis;

// 函数功能：判断 u,v 之间有没有边
bool find_edge(int u, int v) {
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        if (e[i].u == u && e[i].v == v) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

// 遍历图
void dfs(int u) {
    if (vis[u]) return;
    vis[u] = true;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        if (e[i].u == u) {
            dfs(e[i].v);
        }
    }
}

int main() {
  cin >> n >> m;
  // 初始化 vector 数组，也可以将 vis 定义成: “bool vis[N];” 以省去初始化。下同
  vis.resize(n + 1, false);
  e.resize(m + 1);

  for (int i = 1; i <= m; ++i) cin >> e[i].u >> e[i].v >> e[i].w;

  return 0;
}

复杂度

查询是否存在某条边： 𝑂(𝑚)O(m) 。

遍历一个点的所有出边： 𝑂(𝑚)O(m) 。

遍历整张图： 𝑂(𝑛𝑚)O(nm) 。

空间复杂度： 𝑂(𝑚)O(m) 。

应用

由于直接存边的遍历效率低下，一般不用于遍历图。

在 Kruskal 算法中，由于需要将边按边权排序，需要直接存边。

在有的题目中，需要多次建图（如建一遍原图，建一遍反图），此时既可以使用多个其它数据结构来同时存储多张图，也可以将边直接存下来，需要重新建图时利用直接存下的边来建图。

邻接矩阵

方法

使用一个二维数组 g 来存边，其中 g[u][v] 为 1 表示存在 𝑢u 到 𝑣v 的边，为 0 表示不存在。

如果是带边权的图，可以在 g[u][v] 中存储 𝑢u 到 𝑣v 的边的边权，0 表示没有连接，其他值表示权重。

如果是无向图，则将一条无向边拆成两条方向相反的边即可。（所谓的「无向」，也就等同于「双向」）

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1e5+5;
int n, m;
bool vis[N];
bool g[N][N];

bool find_edge(int u, int v) { return g[u][v]; }

void dfs(int u) {
    if (vis[u]) return;
    vis[u] = true;
    for (int v = 1; v <= n; ++v) {
        if (g[u][v]) {
            dfs(v);
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;

    fill_n(vis, N, false);  // 将 vis 数组清 false，类似 memset
    fill_n(g, N*N, false);
    
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u][v] = true;   // u->v 有条单向边
        // 如果是双向边
        // g[u][v] = g[v][u] = true;
    }
    return 0;
}

复杂度

查询是否存在某条边： 𝑂(1)O(1) 。

遍历一个点的所有出边： 𝑂(𝑛)O(n) 。

遍历整张图： 𝑂(𝑛2)O(n2) 。

空间复杂度： 𝑂(𝑛2)O(n2) 。

应用

邻接矩阵只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。

其最显著的优点是可以 𝑂(1)O(1) 查询一条边是否存在。

由于邻接矩阵在稀疏图上效率很低（尤其是在点数较多的图上，空间无法承受），所以一般只会 在稠密图上使用邻接矩阵。并且，在稠密图上使用邻接矩阵的运行效率远高于邻接表，这是因为 CPU 中顺序访问的速度是远高于随机访问的（缓存命中）。

邻接表

方法

使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector<int> g[N] 来存边，其中 g[u] 存储的是点 𝑢u 的所有出边的相关信息（终点、边权等）。

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1e5+5;
int n, m;
bool vis[N];
vector<int> g[N];

bool find_edge(int u, int v) {
    for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) {
        if (g[u][i] == v) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}

void dfs(int u) {
    if (vis[u]) return;
    vis[u] = true;
    for (int i = 0; i < g[u].size(); ++i) dfs(g[u][i]);
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    vis.resize(n + 1, false);
    g.resize(n + 1);
    
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        g[u].push_back(v);
        // 如果是无向图，还须：
        // g[v].push_back(u);
    }
    
    return 0;
}

复杂度

查询是否存在 𝑢u 到 𝑣v 的边： 𝑂(𝑑+(𝑢))O(d+(u)) （如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到 𝑂(log⁡(𝑑+(𝑢)))O(log(d+(u))) ）。

遍历点 𝑢u 的所有出边： 𝑂(𝑑+(𝑢))O(d+(u)) 。

遍历整张图： 𝑂(𝑛+𝑚)O(n+m) 。

空间复杂度： 𝑂(𝑚)O(m) 。

应用

存各种图都很适合，除非有特殊需求（如需要快速查询一条边是否存在，且点数较少，可以使用邻接矩阵）。

尤其适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合。

链式前向星

方法

本质上是用链表实现的邻接表，示例代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 1e5+5;
int n, m;

bool vis[N];
int head[N], nxt[N], to[N], cnt;     // 链式前向星三要素

void add(int u, int v) {     // 添加一条 u->v 的边
    nxt[++cnt] = head[u];    // cnt 这条边的后继（同是 u 的出边的上一条边）
    to[cnt] = v;             // 当前边的终点是 v
    head[u] = cnt;           // 起点 u 的第一条边放到了下标 cnt 处（其实是最后一条）
}

bool find_edge(int u, int v) {
  for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i]) {  // ~i 表示 i != -1
    if (to[i] == v) {
        return true;
    }
  }
  return false;
}

void dfs(int u) {
    if (vis[u]) return;
    vis[u] = true;
    cout << u << ' ';
    for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i])
        dfs(to[i]);
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    
    fill_n(vis, N, false);
    fill_n(head, N, -1);
    
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        add(u, v);
    }
    dfs(1);
    return 0;
}

如果图是赋权图，即边带有权重时，此时数组定义过多，也可以写成结构体去保存，参考代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5;    //点数最大值
int n, m;             //n个点，m条边
int head[N], cnt = -1;     //head[i],表示以i为起点的第一条边在边集数组的位置（编号）

struct Edge
{
    int to, w, next;   // 终点，边权，同起点的上一条边的编号
}edge[N];//边集

void add_edge(int u, int v, int w)// 加边，u 起点，v 终点，w 边权
{
    edge[++cnt].next = head[u];    // 以u为起点上一条边的编号，也就是与这个边起点相同的上一条边的编号
    edge[cnt].to = v;          // 终点
    edge[cnt].w = w;             // 权值
    head[u] = cnt;               // 更新以u为起点上一条边的编号
}
int main()
{
    cin >> n >> m;
    int u, v, w;
    fill_n(head, N, -1);
    
    for (int i = 1; i <= m; i++) // 输入m条边
    {
        cin >> u >> v >> w;
        add_edge(u, v, w);       // 加边
        // 加双向边
        // add_edge(u, v, w);
        // add_edge(v, u, w);
    }
    // 输出每个结点的出边
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cout << i << endl;
        for (int j = head[i]; ~j; j = edge[j].next)  // 遍历以 i为起点的边
        {
            cout << i << " " << edge[j].to << " " << edge[j].w << endl;
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}
/*
5 7
1 2 1
2 3 2
3 4 3
1 3 4
4 1 5
1 5 6
4 5 7
*/

复杂度

查询是否存在 𝑢u 到 𝑣v 的边： 𝑂(𝑑+(𝑢))O(d+(u)) 。

遍历点 𝑢u 的所有出边： 𝑂(𝑑+(𝑢))O(d+(u)) 。

遍历整张图： 𝑂(𝑛+𝑚)O(n+m) 。

空间复杂度： 𝑂(𝑚)O(m) 。

应用

注意：利用链式前向星遍历的边的顺序和输入顺序是相反的！

存各种图都很适合，但是缺点也很明显， 不能快速查询一条边是否存在，也不能方便地对一个点的出边进行排序。

优点是边是带编号的，有时会非常有用，而且如果边是从数组的偶数位开始存储（按上面示例代码写法是从 0 开始存储的，cnt 的初始值为 -1），存双向边时 i ^ 1 即是 i 的反边（常用于网络流）。

总结

图的存储方法比较多，每种方法各有优缺点，对比如下：

	直接存边	邻接矩阵	邻接表	链式前向星
使用场合	需要将边按边权排序时；需要重新建图时利用直接存下的边来建图	只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况；可以 𝑂(1)O(1) 查询边；在稠密图上效率很高	消耗空间较小，各种场合都适用，尤其适用于需要对点的出边排序的场合	消耗空间小，各种场合都适用
缺点	遍历效率低下，一般不用于遍历图	只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。	需熟练掌握 vector 操作？	不能迅速查询边和对一个点的出边排序