TOPSIS法

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution） 可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。是一种常用的综合评价方法，其能充分利用原始数据的信息， 其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

根据层次分析法的局限性：

• 在层次分析法中，需要根据方案层去推算准成层（决策层）。但评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异 可能会很大，平均随机一致性指标RI的表格中n的个数最多是15
• 若决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？我们使用层次分析法是通过查找数据计算推导决策层和目标层，然而当决策层中的指标数据是已知的，层次分析法的价值就不再体现。而TOPSIS法可以很好的应对这一点

TOPSIS法的三点解释

• 比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）
• 比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。
• 有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增 长水平的指标：GDP增速。出现这样的指标时就不适用TOPSIS法

构造计算评分的公式：
$$x-min/max-min$$

现用topsis法描述一个成绩单如上图所示

增加指标个数

若增加了指标，不再以单一指标来评分，那要怎么做呢？

• 首先我们要明确指标的类型

最常见的四种指标：

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	成绩、GDP增速、企业利润
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的PH值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

• 我们需要将不同的指标统一化

1.统一指标类型

• 将所有指标转换为极大型称为指标正向化

极小型指标转换为极大型指标的公式

$$max-x$$

• 如果所有的元素均为正数，那么也可以用1/x

如图所示成绩是极大型指标，与他人争吵的次数是极小型指标，现将与他人争吵的次数转换为极大型指标

中间型指标转换为极大型指标的公式

指标值即不要太大也不要太小，取某特定值最好（如水质量评估PH值）

{x_i}是一组中间型指标，且最佳的数值为x_best,那么正向化的公式为
M = m a x { ∣ x i − x b e s t ∣ } , x i r e t = 1 − ∣ x i − x b e s t ∣ / M M=max\{{|x_i-x_{best}|}\},x^{ret}_i=1-|x_i-x_{best}|/M M=max{∣xi​−xbest​∣},xiret​=1−∣xi​−xbest​∣/M

根据公式将中间型指标PH转换位大型指标

区间型指标转换为极大型指标的公式

区间型指标指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。

{x_i}是一组区间型指标，且最佳的区间为[a,b],那么正向化的公式为

根据公式将区间型指标体温转换为极大型指标

2.正向化矩阵标准化

• 标准化的目的是消除不同指标量纲的影响

• 根据已经正向化的评价指标构建一个正向化矩阵X，然后将改矩阵X标准化，标准化的矩阵为Z

3.计算得分并归一化

• 标准化矩阵Z有n行，行数n对应n个评价对象，m列，列数m对应m个评价指标

• 定义的最大值Z⁺的元素和最小值Z^-的元素指的是在同一个指标内的对象相比得出最大值和最小值元素，即在列内取出最大值或最小值。取出来后构成最大值矩阵Z⁺和最小值矩阵Z^-。注意这里的两个矩阵都为行矩阵

• 定义的最大距离D_i⁺内的Z_j⁺-Z_ij指的是在同一列中的最大值减去当前位置的元素。相应的D_i^-内的Z_j^--Z_ij指的是同一列中的最小值减去当前位置的元素

• 计算得出最大值和最小值后，要进行归一化。归一化的得分为S_i.且S_i越大，D_i⁺越小，说明越接近最大值

类比只有一个指标计算得分

当只需要对一个指标计算得分时，计算元素时需要计算权重

TOPSIS法代码

统一指标类型

在统一指标时先需要判断多个指标中是否存在极大型指标，若不存在则不需要进行正向化处理

判断是否需要正向化

[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理，需要请输入1 ，不需要输入0：  ']);

if Judge == 1
    Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2、3、6三列需要处理，那么你需要输入[2,3,6]： '); 
    disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型， 2：中间型， 3：区间型） ')
    Type = input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，就输入[1,3,2]：  '); 
    for i = 1 : size(Position,2) 
        X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));

    end

• [n,m] 接收X矩阵的行数n和列数m

• Judge接收1表示矩阵X内有列向量需要正向化处理，接收0则不需要

• Position接收一个向量，向量元素为需要进行正向化处理的向量的列数

• Type接收对应需要进行正向化处理的向量的指标类型

• 从1开始遍历，遍历完需要进行正向化处理的向量若Position为3，那么需要遍历3次

• X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i))表示：

• • 按列遍历X矩阵的所有元素，将X矩阵的对应正向化处理的向量、需要将什么类型的向量正向化、需要处理向量的列数作为参数传参給Positivization函数

Positivization函数

function [posit_x] = Positivization(x,type,i)

    if type == 1  %极小型
        disp(['第' num2str(i) '列是极小型，正在正向化'] )
        posit_x = Min2Max(x);  %调用Min2Max函数来正向化
        disp(['第' num2str(i) '列极小型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 2  %中间型
        disp(['第' num2str(i) '列是中间型'] )
        best = input('请输入最佳的那一个值： ');
        posit_x = Mid2Max(x,best);
        disp(['第' num2str(i) '列中间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    elseif type == 3  %区间型
        disp(['第' num2str(i) '列是区间型'] )
        a = input('请输入区间的下界： ');
        b = input('请输入区间的上界： '); 
        posit_x = Inter2Max(x,a,b);
        disp(['第' num2str(i) '列区间型正向化处理完成'] )
        disp('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~分界线~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~')
    else
        disp('没有这种类型的指标，请检查Type向量中是否有除了1、2、3之外的其他值')
    end
end

• function [posit_x] = Positivization(x,type,i)是matlab使用函数的函数体。模板是function [输出变量] = 函数名称(输入变量）
• 函数里调用三种函数Min2Max(x)（极小值指标转换为极大值指标）、 Mid2Max（中间型指标转换为极大型指标）、Inter2Max(x,a,b)区间型指标转换为极大型指标

Min2Max函数

function [posit_x] = Min2Max(x)
    posit_x = max(x) - x;
     %posit_x = 1 ./ x;    %如果x全部都大于0，也可以这样正向化
end

Mid2Max函数

function [posit_x] = Mid2Max(x,best)
    M = max(abs(x-best));
    posit_x = 1 - abs(x-best) / M;
end

inter2Max函数

function [posit_x] = Inter2Max(x,a,b)
    r_x = size(x,1);  % row of x 
    M = max([a-min(x),max(x)-b]);
    posit_x = zeros(r_x,1);   % 初始化posit_x全为0  初始化的目的是节省处理时间
    for i = 1: r_x
        if x(i) < a
           posit_x(i) = 1-(a-x(i))/M;
        elseif x(i) > b
           posit_x(i) = 1-(x(i)-b)/M;
        else
           posit_x(i) = 1;
        end
    end
end

• r_x为x向量的行数
• posit_x为x向量相同大小的0向量

对正向化的矩阵进行标准化

Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)

计算与最大值的距离和最小值的距离，并算出得分

D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5; 
%D+与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ] .* repmat(weigh,n,1) ,2) .^ 0.5;   
% D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为：')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')