0.概述

介绍下二叉树的表示与实现。

1.树

1.1 应用

后缀表达式。
相对于线性结构O（n），树结构中元素的查找、插入、删除操作几乎提高了一个线性因子O（logn）。
结论：对二任何 $ϵ$ > 0，都有 logn = O($n^{ϵ}$)。

1.2 有根树

从图论的角度看，树等价于连通无环图。

1.3 有序树

重要结论：任何一棵树中所含的边数应该恰好等于所有顶点的度数之和，同时也恰好等于顶点总数减1。即，任何一颗树中的边数与顶点数是同阶的——一棵树的总体规模如果可以度量为其中的点数在加上边数（n+e），从渐进意义上讲，这个规模也是和其中的顶点数或者是边数同阶的。故此后讨论到时间复杂度的时候，都是以顶点的数目n作为参照。

1.4 路径+环路

以边的数目度量路径长度，相对顶点而言会使算法描述以及理解更加的简明。

基本结论：

• 树就是在无环和连通之间达到一个平衡的一种特定的图。

因为无环，所以它的边数不会太大，反之，正因为它又是连通的，所以边数又不能太少。 保证连通的情况下，边数能达到最少。 杜绝环路的情况下，它又能使用经可能多的边。

树中一旦指定了根，其它的节点都将获得一个确定的指标，通过这个指标，进一步将所有的顶点划分为不同的几类。故同一类顶点所具有的指标都是相等的，所以也称为等价类。

1.5 深度 + 层。

path(v): path from root to v
subtree(v): subtree rooted at v
即然任何一个节点都会以它所对应的那条通路的长度作为指标，而这样一个指标也很好体现了，任何一个节点V从根节点开始向下深入的程度，故v节点的指标称为深度。

叶子节点所对应的那个最大的深度，称为这棵树的高度。
树的高度也可以推广至其中的任何一颗子树，如此定义的子树高度，也称为根节点高度。所以任何一棵子树的高度就是它的根节点高度。
全树的高度也可以当作是全树根节点高度。

1.6 树的表示

一般地，树中各节点的孩子数目并不确定。每个节点的孩子均不超过k个的有根树，称作k叉树（k-ary tree）。
  ~  
  ~  

孩子节点的查找却不得不花费O(n)时间访遍所有节点。

将各节点组织为向量或列表，其中每个元素除保存节点本身的信息（data）外，还需要保存父节点（parent）的秩或位置。
向上查找父节点比较方便，向下查找长子和兄弟节点，便需要O（n），便是改进点。

令各节点将其所有的孩子组织为一个向量或列表。如此，对于拥有r个孩子的节点，可在O(r + 1)时间内列举出其所有的孩子。
向下查找解决了，向上查找优势丧失殆尽。

以上父节点表示法和孩子节点表示法各有所长，但也各有所短。为综合二者的优势，消除缺点，可令各节点既记录父节点，同时也维护一个序列以保存所有孩子。
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美中不足，每一个节点的children引用所指向的那个数据集在规模上可能相差极其悬殊，每一个数据集的长度都恰好是这个节点所对应的出度，引用结论：

平均而言小的数据集规模，就是O（1），但这种组织方式有时需要O（n）。根源是每个节点出度是不尽相同的，找到新办法更加规范整洁高效。
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有序多叉树 = 二叉树
为了保证作为多叉树特例的二叉树有足够的能力表示任何一棵多叉树，我们只需给多叉树增加一项约束条件——同一节点的所有孩子之间必须具有某一线性次序。
凡符合这一条件的多叉树也称作有序树（ordered tree）。

长子兄弟法不仅是树的一种很好表示方法，而且也是对树本质的最深刻理解。
在此后介绍二叉树，并且用二叉树代表所有树的时候，会再次使用此方法。
对于树这样的全集，尽管二叉树只是它的一个特殊的子集，但在施加某些条件后，二叉树却足以用来表示和实现所有的树。而这种方法背后的原理在很大程度上就是长子兄弟法。

2. 二叉树的概述

不难看出二叉树肯定是树的一种特例，但饶有趣味的是在有跟性以及有序性能够保证的前提下，二叉树却足以描述所有树。
不含一度节点的二叉树称作真二叉树（proper binary tree）

一棵二叉树在横向上的宽度与他在纵向上的高度是呈一个指数关系，宽度是高度指数$w=2^h$，指数意味着 爆炸，意味着剧烈增长，所以如果节点的总数固定，宽度大致与它相当，但是高度会增长异常缓慢，反过来呈对数的形式——二叉树更加倾向于长宽，长宽很快，高度控制得当会长的异常缓慢。这个是二叉收索树的重要理论基础。

这样一般性的二叉树在很多操作包括算法实现以及对算法的理解上都会引来一些不必要的麻烦，而反过来一个比较有效的改进方法是将任何一颗一般性的二叉树转换为一颗真二叉树。

尽管添加很多节点，但是从渐进意义上讲他们的总数依然保持与原先规模相当。
更重要的是实现相应的算法的时候就会看到这种添加实际上完全是假想的，并不需要真正引入他们，只需要假想他们存在，算法便可以更加简洁实现且更加简洁被理解。

由此可见，描述并且实现以及利用树结构的话，不如说我们只需研究并实现二叉树。

3 二叉树实现

3.1 二叉树节点

作为图的特殊形式，二叉树的基本组成单元是节点与边；作为数据结构，其基本的组成实体是二叉树节点（binary tree node），而边则对应于节点之间的相互引用。

• BinNode模板类
  
  记录重要指标height，npl和color指标是为后面基于二叉树实现二叉搜索树和优先级队列等数据结构留有余地。
  每个节点通过引用指向其他节点，反过来每个节点也通过引用被其他节点指向。
  笼统地称节点占据的空间为一个位置。
  size()：包括它在内所有后代的总数。
  insertAsLC() insertAsRC()：它与其他节点相互作用使得整个二叉树在拓扑结构上发生变化地操作接口 。
  succ（）：后继接口，与线性结构中一样，返回的是当前节点在后面介绍的中序遍历意义下的直接后继。
  树形结构的四种遍历接口。

3.2 二叉树节点操作接口

size（）：递归实现方式，递推统计当前节点对应左子树size，以及对称地右子树size，两项合计再加上自身。

3.3 二叉树的实现

完成了对二叉树节点类定义后，基于它实现整体地bin tree。

内部接口

• 成员变量
  通过内部两个变量 _size _root 分别记录当前树中地节点总数——规模，最为整棵树的入口树根节点位置。
• 高度更新

算法思想：
一旦有节点加入或离开二叉树，则更新其所有祖先的高度。
在每一节点v处，只需读出其左、右孩子的高度并取二者之间的大者，再计入当前节点本身， 就得到了v的新高度。

更新每一节点本身的高度，只需执行两次getHeight()操作、两次加法以及两次取最大操作，不过常数时间，故updateHeight()算法总体运行时间也是O(depth(v) + 1)，其中depth(v)为节点v的深度。

优化思路：在逆行向上依次更新 x 各祖先高度癿过秳中，一旦収现某一祖先癿高度没有収生发化，
算法即可提前终止；

在某些种类的二叉树（例如8.3节将要介绍的红黑树）中，高度的定义有所不同，因此这里将updateHeight()定义为保护级的虚方法，以便派生类在必要时重写（override）。
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对外开放接口
size() empty() root() 都可以通过内部变量直接查询返回。
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• 节点插入
  
  调用x->insertAsRC()接口，将二 者 按 照 父 子 关 系 相 互 联 接 ， 同 时 通 过updateHeightAbove()接口更新x所有祖先的高度，并更新全树规模。
  注意这里的两个同名insertAsRC()接口，它们各自所属的对象类型不同。
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• 子树接入
  
  若二叉树T中节点x的右孩子为空，则attachAsRC()接口首先将待植入的二叉树S的根节点作为x的右孩子，同时令x作
  为该根节点的父亲；然后，更新全树规模以及节点x所有祖先的高度；最后，将树S中除已接入的各节点之外的其余部分归还系统。

• 子树删除
  
  子树接入过程恰好相反。不同之处在于，需要将被摘除子树中的节点，逐一释放并归还系统。

• 子树分离
  

• 复杂度
  就二叉树拓扑结构的变化范围而言，以上算法均只涉及局部的常数个节点。因此，除了更新祖先高度和释放节点等操作，只需常数时间。