前言

神经网络可以用在分类问题和回归问题上，不过需要根据情况改变输出 层的激活函数。一般而言，回归问题用恒等函数，分类问题用softmax函数。

机器学习的问题大致可以分为分类问题和回归问题

• 分类问题是数据属于哪一个类别的问题。比如，区分图像中的人是男性还是女性的问题就是分类问题
• 回归问题是根据某个输入预测一个（连续的）数值的问题。比如，根据一个人的图像预测这个人的体重的问题就是回归问题（类似“57.4kg”这样的预测）

一、恒等函数和softmax函数

恒等函数

恒等函数会将输入按原样输出，将恒等函数的处理过程用神经网络图来表示，则如下图所示。

softmax 函数

分类问题中使用的 softmax 函数可以用下面的式子表示
$$y_k=\frac{\exp \left(a_k\right)}{{\sum }_{i=1}^n\exp \left(a_i\right)}$$
$\exp (x)$ 是表示 ${\mathrm{e}}^x$ 的指数函数 ( $\mathrm{e}$ 是纳皮尔常数 $2.7182\cdots )$

上式表示假设输出层共有 $n$ 个神经元, 计算第 $k$ 个神经元的输出 $y_k$ 。

• 分子是输人信号 $a_k$ 的指数函数
• 分母是所有输人信号的指数函数的和。

下图表示softmax函数。函数的输出通过箭头与所有的输入信号相连，这是因为， 输出层的各个神经元都受到所有输入信号的影响（从上式可以看出）

python实现softmax函数

import numpy as np

# 定义输入向量a
a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])

# 计算指数函数
exp_a = np.exp(a)
print("指数函数结果:", exp_a)  # [  1.34985881  18.17414537  54.59815003]

# 计算指数函数的和
sum_exp_a = np.sum(exp_a)
print("指数函数的和:", sum_exp_a)  # 74.1221542102

# 计算softmax
y = exp_a / sum_exp_a
print("softmax:", y)  # [ 0.01821127  0.24519181  0.73659691]

代码按照softmax函数实现，下面把它定义成如下的Python函数

def softmax(a):
    exp_a = np.exp(a)
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y

二、实现softmax函数时的注意事项

函数优化

上面的 softmax 函数在运算上存在溢出问题，因为计算机表示的数值范围是有限的。

softmax 函数的实现中要进行指数函数的运算，但是此时指数函数的值很容易变得非常大。比如， $e^{10}$ 的值会超过 $20000,e^{100}$ 会变成一个后面有 40 多个 0 的超大值, $e^{1000}$ 的结果会返回一个表示无穷大的inf。如果在这些超大值之间进行除法运算, 结果会出现 不确定的情况。
softmax函数的实现可以像下式这样改进
$$\begin{array}{rl}{y}_k=\frac{\exp \left(a_k\right)}{{\sum }_{i=1}^n\exp \left(a_i\right)}& =\frac{\mathrm{C}\exp \left(a_k\right)}{\mathrm{C}{\sum }_{i=1}^n\exp \left(a_i\right)}\\ & =\frac{\exp \left(a_k+\log \mathrm{C}\right)}{{\sum }_{i=1}^n\exp \left(a_i+\log \mathrm{C}\right)}\\ & =\frac{\exp \left(a_k+{\mathrm{C}}^{\prime }\right)}{{\sum }_{i=1}^n\exp \left(a_i+{\mathrm{C}}^{\prime }\right)}\end{array}$$

• 首先在分子和分母上都乘上 $\mathrm{C}$ 这个任意的常数 (因为同时对分母和分子乘以相同的常数, 所以计算结果不变)

• 然后把这个 $\mathrm{C}$ 移动到指数函数 (exp) 中, 记为 $\log \mathrm{C}$

  • 这个步骤利用了指数函数的性质：$\exp (x+y)=\exp (x)\cdot \exp (y)$
  • 分子部分：$\exp (a_k)\cdot \mathrm{C}=\exp (a_k)\cdot \exp (\log \mathrm{C})=\exp (a_k+\log \mathrm{C})$
  • 分母部分：${\sum }_{i=1}^n\exp (a_i)\cdot \mathrm{C}={\sum }_{i=1}^n\exp (a_i)\cdot \exp (\log \mathrm{C})={\sum }_{i=1}^n\exp (a_i+\log \mathrm{C})$

• 最后把 $\log \mathrm{C}$ 替换为另一个符号 ${\mathrm{C}}^{\prime }$

上式说明, 在进行 softmax 的指数函数的运算时, 加上 (或者减去)某个常数并不会改变运算的结果。这里的 ${\mathrm{C}}^{\prime }$ 可以使用任何值, 但是为了防止溢出, 一般会使用输人信号中的最大值。

python实现

下面来看一个具体的例子

import numpy as np

# 定义输入向量a
a = np.array([1010, 1000, 990])

# 直接计算softmax函数会出现数值溢出的问题
# np.exp(a) / np.sum(np.exp(a)) # 结果为 [nan, nan, nan]

# 解决方法：将输入向量减去最大值，然后再计算softmax函数
c = np.max(a) # 最大值为 1010
a_shifted = a - c
softmax_output = np.exp(a_shifted) / np.sum(np.exp(a_shifted))
print(softmax_output) # 结果为 [  9.99954600e-01,   4.53978686e-05,   2.06106005e-09]

通过减去输入信号中的最大值（上例中的c），原本为nan（not a number，不确定）的地方，现在被正确计算了。

所以可以像下面这样实现softmax函数

def softmax(a):
    c = np.max(a)
    exp_a = np.exp(a - c) # 溢出对策
    sum_exp_a = np.sum(exp_a)
    y = exp_a / sum_exp_a
    return y

三、softmax函数的特征

计算神经网络的输出

使用softmax()函数，可以按如下方式计算神经网络的输出。

# 定义输入向量a
a = np.array([0.3, 2.9, 4.0])

# 计算softmax函数
y = softmax(a)
print(y)  # [ 0.01821127  0.24519181  0.73659691]

# 验证概率分布的性质，softmax函数的输出应该是一个概率分布，所有元素的和应该为1
print(np.sum(y))  # 1.0

softmax函数的输出是0.0到1.0之间的实数，并且 softmax 函数的输出值的总和是1。输出总和为1是softmax函数的一个重要性质。正因为有了这个性质，我们才可以把softmax函数的输出解释为“概率”。

比如，上面的例子可以解释成y[0]的概率是0.018（1.8%）， y[1]的概率 是0.245（24.5%）， y[2]的概率是0.737（73.7%）。从概率的结果来看，可以 说“因为第2个元素的概率最高，所以答案是第2个类别”。而且，还可以回答“有 74%的概率是第2个类别，有25%的概率是第1个类别，有1%的概 率是第0个类别”。也就是说，通过使用softmax函数，我们可以用概率的（统计的）方法处理问题。

输出层的softmax函数可以省略

需要注意的是，即便使用了softmax函数，各个元素之间的大小关系也不会改变。这是因为指数函数（y=exp(x)）是单调递增函数。实际上， 上例中a的各元素的大小关系和y的各元素的大小关系并没有改变。

比如，a 的最大值是第2个元素，y的最大值也仍是第2个元素。 一般而言，神经网络只把输出值最大的神经元所对应的类别作为识别结果。 并且，即便使用softmax函数，输出值最大的神经元的位置也不会变。

因此， 神经网络在进行分类时，输出层的softmax函数可以省略。在实际的问题中， 由于指数函数的运算需要一定的计算机运算量，因此输出层的softmax函数一般会被省略。

“学习”和“推理”阶段

求解机器学习问题的步骤可以分为“学习”和“推理”两个阶段

• 首先，在学习阶段进行模型的学习
• 在推理阶段，用学到的模型对未知的数据进行推理（分类）

如前所述，推理阶段一般会省略输出层的softmax函数。在输出层使用softmax函数是因为它和神经网络的学习有关系。

四、输出层的神经元数量

输出层的神经元数量需要根据待解决的问题来决定。对于分类问题，输出层的神经元数量一般设定为类别的数量。

比如，对于某个输入图像，预测是图中的数字0到9中的哪一个的问题（10类别分类问题），可以像下图这样， 将输出层的神经元设定为10个。输出层的神经元从上往下依次对应数字 0, 1, …, 9。图中输出层的神经元的值用不同的灰度表示。这个例子中神经元 $y_2$ 颜色最深，输出的值最大。这表明这个神经网络预测的是 $y_2$ 对应的类别，也就是“2”。

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