简介

下图是论文中 Transformer 的内部结构图，左侧为 Encoder block，右侧为 Decoder block。红色圈中的部分为 Multi-Head Attention，是由多个 Self-Attention组成的，可以看到 Encoder block 包含一个 Multi-Head Attention，而 Decoder block 包含两个 Multi-Head Attention (其中有一个用到 Masked)。Multi-Head Attention 上方还包括一个 Add & Norm 层，Add 表示残差连接 (Residual Connection) 用于防止网络退化，Norm 表示 Layer Normalization，用于对每一层的激活值进行归一化。

因为 Self-Attention是 Transformer 的重点，所以我们重点关注 Multi-Head Attention 以及 Self-Attention，首先详细了解一下 Self-Attention 的内部逻辑。

基础知识

向量的内积是什么，如何计算，最重要的，其几何意义是什么？

内积的计算方法是将两个向量对应分量相乘，然后将结果相加。
内积的几何意义是非常重要的。在二维空间中，两个向量的内积等于两个向量的模（长度）之积乘以它们之间的夹角的余弦值。具体来说，如果
θ 是两个向量之间的夹角，则它们的内积为：
$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos (\theta )$$
这个公式表明，内积可以用来衡量两个向量的相似程度。当两个向量的夹角为 0时(cos0=1)，它们的内积取得最大值，表示它们的方向相同；当夹角为 90时(cos90=0)，内积为 0，表示它们的方向垂直；当夹角为180(cos180=-1) 时，内积取得最小值，表示它们的方向相反。

一个矩阵 与其自身的转置相乘，得到的结果有什么意义？
矩阵的对称性指的是矩阵在某种变换下保持不变的性质。对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足以下性质：矩阵的转置等于它自身。
具体来说，对称矩阵 A 满足以下条件：
$$\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{⊺}$$
这意味着矩阵的主对角线上的元素保持不变，而其他元素关于主对角线对称。

例如，如果一个矩阵 A 的元素为：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& d& e\\ c& e& f\end{array}\right)$$
矩阵中的元素对称于主对角线。
对称矩阵在数学和工程领域中非常重要，因为它们具有许多有用的性质，比如特征值都是实数、可以通过正交变换对角化等。在应用中，对称矩阵广泛用于描述对称系统、表示物理现象等。

当一个矩阵与其自身的转置相乘时，得到的结果矩阵具有重要的性质，其中最显著的是结果矩阵是一个对称矩阵。这个性质在许多领域中都有重要的应用，比如在统计学中用于协方差矩阵的计算，以及在机器学习中用于特征提取和数据降维。

让我们用一个具体的矩阵示例来演示这个性质。考虑一个 $3\times 2$的矩阵
的矩阵$\mathbf{A}$：
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$
首先，我们计算 A 的转置 ${\mathbf{A}}^{⊺}$
$${\mathbf{A}}^{⊺}=\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)$$
然后，我们将 𝐴 相乘${\mathbf{A}}^{⊺}$，得到结果矩阵 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{⊺}$
$$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{⊺}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}5& 11& 17\\ 11& 25& 39\\ 17& 39& 61\end{array}\right)$$

可以观察到，结果矩阵 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{⊺}$是一个对称矩阵。

什么是Attention

所谓Attention，顾名思义：注意力，意思是处理一个问题的时候把"注意力"放到重要的地方上。Attention思想其实是从人类的习惯中提取出来的。人们在第一次看一张照片的时候，第一眼一定落到这张照片的某个位置上，可能是个显著的建筑物，或者是一个有特点的人等等，总之，人们通常并没有看清图片的全部内容，而是将注意力集中在了图片的焦点上。

2017年的某一天,Google 机器翻译团队发表了《Attention is All You Need》这篇论文，犹如一道惊雷，Attention横空出世了！（有一说一，这标题也太他喵嚣张了，不过人家有这个资本(oﾟ▽ﾟ)o ）

Attention 机制最早是在计算机视觉里应用的，随后在NLP领域也开始应用了，真正发扬光大是在NLP领域，由于2018年GPT模型的效果显著，Transformer和Attention这些核心才开始被大家重点关注。

下面举个例子上说明一下注意力和自注意力，可能不够严谨，但足以说明注意力和自注意力是什么了。
 首先我们不去考虑得到注意力分数的细节，而是把这个操作认为是一个封装好的函数。比如定义为attention_score(a,b)，表示词a和b的注意力分数。现在有两个句子A=“you are beautiful”和B=“你很漂亮”，我们想让B句子中的词“你”更加关注A句子中的词“you”，该怎么做呢？答案是对于每一个A句子中的词，计算一下它与“you”的注意力分数。也就是把

attention_score(“you”,“你”)
attention_score(“are”,“你”)
attention_score(“beautiful”,“你”)

都计算一遍，在实现attention_score这个函数的时候，底层的运算会让相似度比较大的两个词分数更高，因此attention_score(“you”,“你”)的分数最高，也相当于告诉了计算机，在对B句子中“你”进行某些操作的时候，你应该更加关注A句子中的“you”，而不是“are”或者“beautiful”。
 以上这种方式就是注意力机制，两个不同的句子去进行注意力的计算。而当句子只有一个的时候，只能去计算自己与自己的注意力，这种方式就是自注意力机制。比如只看A句子，去计算

attention_score(“you”,“you”)
attention_score(“are”,“you”)
attention_score(“beautiful”,“you”)

这种方式可以把注意力放在句子内部各个单词之间的联系，非常适合寻找一个句子内部的语义关系。

再举个例子比如这句话“这只蝴蝶真漂亮，停在花朵上，我很喜欢它”，我们怎么知道这个“它”指的是“蝴蝶”还是“花朵”呢？答案是用自注意力机制计算出这个“它”和其他所有输入词的“分数”，这个“分数”一定程度上决定了其他单词与这个联系。可以理解成越相似的，分就越高（通过权重来控制）。通过计算，发现对于“它”这个字，“蝴蝶”比“花朵”打的分高。所以对于“它”来说，“蝴蝶”更重要，我们可以认为这个“它”指的就是蝴蝶。

Self Attention

原理

通俗易懂理解

在人类的理解中，对待问题是有明显的侧重。具体举个例子来说：“我喜欢踢足球，更喜欢打篮球。”，对于人类来说，显然知道这个人更喜欢打篮球。但对于深度学习来说，在不知道”更“这个字的含义前，是没办法知道这个结果的。所以在训练模型的时候，我们会加大“更”字的权重，让它在句子中的重要性获得更大的占比。比如：
$$C(seq)=F(0.1\ast d(我)，0.1\ast d(喜)，...，0.8\ast d(更)，0.2\ast d(喜)，...)$$
在知道了attention在机器学习中的含义之后（下文都称之为注意力机制）。人为设计的注意力机制，是非常主观的，而且没有一个准则来评定，这个权重设置为多少才好。所以，如何让模型自己对变量的权重进行自赋值成了一个问题，这个权重自赋值的过程也就是self-attention。

定义：假设有四个输入变量$a^1$，$a^2$，$a^3$，$a^4$，希望它们经过一个self-attention layer之后变为$b^1$，$b^2$，$b^3$，$b^4$

拿$a^1$和$b^1$做例子,$b^1$这个结果是综合了$a^1$，$a^2$，$a^3$，$a^4$而得出来的一个结果。既然得到一个b 是要综合所有的a才行，那么最直接的做法就是$a^1$与$a^2$，$a^3$，$a^4$
都做一次运算，得到的结果就代表了这个变量的注意力系数。直接做乘法太暴力了，所以选择一个更柔和的方法：引入三个变量$W^q$,$W^k$,$W^v$这三个变量与$a^1$相乘得到$q^1$,$k^1$,$v^1$
同样的方法对$a^2$，$a^3$，$a^4$都做一次,至于这里的q , k , v具体代表什么，下面就慢慢展开讲解。

然后拿自己的q与别人的k相乘就可以得到一个系数$\alpha$。这里$q^1$在和其他的k做内积时，可近似的看成是在做相似度计算(前面基础向量的内积)。比如：
$$\begin{gathered} {\alpha }_{1,1}=q^1\cdot k^1 \\ {\alpha }_{1,2}=q^1\cdot k^2 \\ {\alpha }_{1,3}=q^1\cdot k^3 \\ {\alpha }_{1,4}=q^1\cdot k^4 \end{gathered}$$

在实际的神经网络计算过程中，还得除于一个缩放系数$\sqrt{d}$这个d是指q和k的维度,因为q和k会做内积，所以维度是一样的。之所以要除$\sqrt{d}$​，是因为做完内积之后，，$\alpha$会随着它们的维度增大而增大，除$\sqrt{d}$相当于标准化。

得到了四个$\alpha$之后，我们分别对其进行softmax，得到四个 ${\hat{\alpha }}_1$，增加模型的非线性。

四个$\alpha$分别是 ${\hat{\alpha }}_1$,${\hat{\alpha }}_2$,${\hat{\alpha }}_3$,${\hat{\alpha }}_4$,别忘了还有我们一开始计算出来的 $v^1$,$v^2$,$v^3$,$v^4$，直接把各个${\hat{\alpha }}_1$直接与各个a 相乘不就得出了最后的结果了吗？虽然这么说也没错，但为了增加网络深度，将a变成v也可以减少原始的a对最终注意力计算的影响。
那么距离最后计算出$b^1$只剩最后一步，我们将所有的${\hat{\alpha }}_1$
与所有的v分别相乘，然后求和，就得出$b^1$啦！具体计算如下：
$$b^1={\hat{\alpha }}_{1,1}\ast v^1+{\hat{\alpha }}_{1,2}\ast v^2+{\hat{\alpha }}_{1,3}\ast v^3+{\hat{\alpha }}_{1,4}\ast v^4$$
公式简化为：
$$b^1=\sum _i{\hat{\alpha }}_{1,i}\ast v^i$$

同样的计算过程，我们对剩下的a都进行一次，就可以得到$b^2$,$b^3$,$b^4$,每个b都是综合了每个a之间的相关性计算出来的，这个相关性就是我们所说的注意力机制,。那么我们将这样的计算层称为self-attention layer。

我们把一个句子中的每个字代入上图的 $x^1$，$x^2$ ,$x^3$， $x^4$

矩阵计算

上图是 Self-Attention 的结构，在计算的时候需要用到矩阵Q(查询),K(键值),V(值)。在实际中，Self-Attention 接收的是输入(单词的表示向量x组成的矩阵X) 或者上一个 Encoder block 的输出。而Q,K,V正是通过 Self-Attention 的输入进行线性变换得到的。

Q，K，V计算

输入矩阵X=position encoding+word embedding,其中维度d_model，行为句子中单词的个数。
需要知道x的格式参考：Word2Vec实例

Self-Attention 的输入用矩阵X进行表示，则可以使用线性变阵矩阵WQ,WK,WV计算得到Q,K,V。计算
如下图所示，注意 X, Q, K, V 的每一行都表示一个单词，WQ，WK，WV是一个d_model(输入矩阵的列)行的线性变阵参数，X的每一行都会都会有自己的QKV，比如$X_1$对应$Q_1,K_1,V_1$,即$X_n$对应$Q_n,K_n,V_n$，所以 X, Q, K, V 的每一行都表示一个单词。

Self-Attention 的输出

得到矩阵 Q, K, V之后就可以计算出 Self-Attention 的输出了，计算的公式如下：

公式中计算矩阵Q和K每一行向量的内积，为了防止内积过大，因此除以$d_k$的平方根，缩放注意力，以使得注意力分布的方差在不同维度上保持一致，从而更好地控制梯度的稳定性。。Q乘以K的转置后，得到的矩阵行列数都为 n，n 为句子单词数，这个矩阵可以表示单词之间的 attention 强度。下图为Q乘以$K^T$, 1234 表示的是句子中的单词。

得到$Q{K}^T$之后，使用 Softmax 计算每一个单词对于其他单词的 attention 系数，公式中的 Softmax 是对矩阵的每一行进行 Softmax，即每一行的和都变为 1.

得到 Softmax 矩阵之后可以和V相乘，得到最终的输出Z。

上图中 Softmax 矩阵的第 1 行表示单词 1 与其他所有单词的 attention 系数，最终单词 1 的输出$Z_1$等于所有单词 i 的值$V_i$根据 attention 系数的比例加在一起得到，如下图所示：

优势

从self-attention的原理中可以看出，这一层需要学习的参数只有$W^q$ ,$W^k$, $W^v$，大部分变量来自于内部计算得出来的，所以它的参数量少但每个参数所涵盖的信息多，这是它的第一个优点。
每个b的计算都是独立的，这一点相比之前的RNN来说很不一样，RNN是需要等前面的$a^1$算完了才能算$a^2$，是串行的。所以RNN无论是训练还是推理，都会因为不能计算并行而变慢，这是它的的第二个优点。
RNN的一个最大的问题是：前面的变量在经过多次RNN计算后，已经失去了原有的特征。越到后面，最前面的变量占比就越小，这是一个很反人类的设计。而self-attention在每次计算中都能保证每个输入变量 a的初始占比是一样的，这样才能保证经过self-attention layer计算后他的注意力系数是可信的。
所以总结下来，它的三个优点分别是：

• 需要学习的参数量少
• 可以并行计算
• 能够保证每个变量初始占比是一样的

Multi-head self-attention

原理

通俗易懂理解

multi-head self-attention，所谓head也就是指一个a 衍生出几个q , k , v 。上述所讲解的self-attention是基于single-head的。以2 head为例：
首先，$a^i$先生成$q^1$,$k^1$,$v^1$,然后，接下来就和single-head不一样了，$q^i$生成$q^{i,1},q^{i,2}$生成的方式有两种：

1. $q^i$乘上一个$W^{q,1}$得到$q^{i,2}$，这个和single-head的生成是差不多的；
2. $q^i$直接从通道维，平均拆分成两个，得到$q^{i,1},q^{i,2}$

这两种方式，在最后结果上都差不多。至于为啥，后面会讲一下原因。
那么这里的图解使用第1个方式，先得到$q^{i,1}$,$k^{i,1}$,$v^{i,1}$。对$a^j$做同样的操作得到
,对$a^j$做同样的操作得到$q^{j,1}$,$k^{j,1}$,$v^{j,1}$。这边需要注意的一点，$q^{i,1}$是要和$k^{j,1}$做矩阵乘法，而非$k^{j,2}$，一一对应。后面计算就和single-head一样了，最后得到$b^{i,1}$

第二步，对$q^{i,2}$,$k^{i,2}$,$v^{i,2}$做一样的操作，得到$b^{i,2}$

这里我们算出的$b^{i,1}$,$b^{i,2}$是同维度的，我们可以将其concat在一起，再通过一个$W^0$把他转成想要的维度。这也就不难理解，为什么说multi-head的两种生成方式是一样的，因为最终决定是输出维度的是$W^o$。我们可以将multi-head的过程看成是cnn中的隐藏层，multi-head的数量也就对应着Conv2D的filter数量，每一个head各司其职，提取不同的特征。

矩阵计算

我们已经知道怎么通过 Self-Attention 计算得到输出矩阵 Z，而 Multi-Head Attention 是由多个 Self-Attention 组合形成的，下图是论文中 Multi-Head Attention 的结构图。

从上图可以看到 Multi-Head Attention 包含多个 Self-Attention 层，首先将输入X分别传递到 h 个不同的 Self-Attention 中，计算得到 h 个输出矩阵Z。下图是 h=8 时候的情况，此时会得到 8 个输出矩阵Z。

得到 8 个输出矩阵$Z_1$到$Z_8$之后，Multi-Head Attention 将它们拼接在一起 (Concat)，然后传入一个Linear层，得到 Multi-Head Attention 最终的输出Z。

可以看到 Multi-Head Attention 输出的矩阵Z与其输入的矩阵X的维度是一样的。

代码实现

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

class SelfAttention(nn.Module):
    def __init__(self, embed_size, num_heads):
        """
        初始化 SelfAttention 层
        
        参数:
            embed_size (int): 输入特征的维度
            num_heads (int): 注意力头的数量
        """
        super(SelfAttention, self).__init__()
        self.embed_size = embed_size
        self.num_heads = num_heads
        self.head_dim = embed_size // num_heads
        
        # 确保 embed_size 能被 num_heads 整除
        assert (
            self.head_dim * num_heads == embed_size
        ), "Embedding size needs to be divisible by heads"
        
        # 初始化线性层
        self.values = nn.Linear(self.head_dim, self.head_dim, bias=False)
        self.keys = nn.Linear(self.head_dim, self.head_dim, bias=False)
        self.queries = nn.Linear(self.head_dim, self.head_dim, bias=False)
        self.fc_out = nn.Linear(num_heads * self.head_dim, embed_size)

    def forward(self, values, keys, query):
        """
        前向传播函数
        
        参数:
            values (Tensor): 值的张量，形状为 (batch_size, value_len, embed_size)
            keys (Tensor): 键的张量，形状为 (batch_size, key_len, embed_size)
            query (Tensor): 查询的张量，形状为 (batch_size, query_len, embed_size)
        
        返回:
            out (Tensor): 输出张量，形状为 (batch_size, query_len, embed_size)
        """
        # 获取张量的大小
        N = query.shape[0]
        value_len, key_len, query_len = values.shape[1], keys.shape[1], query.shape[1]
        
        # 将输入张量按头数和头维度进行切分
        values = values.reshape(N, value_len, self.num_heads, self.head_dim)
        keys = keys.reshape(N, key_len, self.num_heads, self.head_dim)
        queries = query.reshape(N, query_len, self.num_heads, self.head_dim)
        
        # 通过线性层进行变换
        values = self.values(values)
        keys = self.keys(keys)
        queries = self.queries(queries)
        
        # 计算点积注意力
        energy = torch.einsum("nqhd,nkhd->nhqk", [queries, keys]) # batch_size, num_heads, query_len, key_len
        
        # 计算注意力权重
        attention = torch.nn.functional.softmax(energy / (self.embed_size ** (1/2)), dim=3)
        
        # 将注意力权重应用到值上
        out = torch.einsum("nhql,nlhd->nqhd", [attention, values]).reshape(
            N, query_len, self.num_heads * self.head_dim
        )
        
        # 合并多个头并通过线性层进行变换
        out = self.fc_out(out)
        return out