【机器学习300问】84、AdaGrad算法是为了解决什么问题？

神经网络的学习的目的是找到使损失函数的值尽可能小的参数。这是寻找最优参数的问题，解决这个问题的过程称为最优化。因为参数空间非常复杂，无法轻易找到最优解，而且在深度神经网络中，参数的数量非常庞大，导致最优化问题更加复杂。

为了找到最优参数，我们可以采取随机梯度下降算法（SGD）来一次次沿着梯度方向更新参数，逐渐靠近最优参数。SGD是个简单的方法但它有局限性，所以发明了Momentum、AdaGrad等改良的梯度下降算法。

关于SGD的局限性，我在之前的篇文章中写过，这里给出链接后就不展开啦！

基础梯度下降法：缓慢探索的徒步者http://t.csdnimg.cn/XnxSX

一、学习率衰减

在神经网络的学习中，学习率 $\eta$ 的值很重要。学习率过小，会导致学习花费过多时间；反过来学习率过大，则会导致学习发散而不能正确进行。关于学习率的有效技巧中，有一种被称之为学习率衰减的方法，它的基本思想是在训练初期使用较大的学习率以快速接近最优解，随着训练的进行，逐渐减小学习率，使得模型能够更细致地调整参数，避免因过大的学习率而错过最优解或导致发散。

二、AdaGrad算法的原理

（1）通过举例来感性认识

想象一下，AdaGrad算法就像是一个细心的园丁，负责照顾一片有着各种不同植物的花园。在这个花园里，每株植物代表模型中的一个参数，而花园的繁荣程度则对应着我们的模型性能。园丁的目标是让花园长得茂盛，但他不能给所有植物浇一样的水，因为有的植物喜湿，有的耐旱。

在传统的梯度下降中，就好比是用同一壶水均匀地浇灌整个花园，不管植物的具体需求。但AdaGrad这位智慧的园丁不同，他手里拿着一本详细的日记，记录了每株植物过去的浇水情况（即梯度的大小）。当来到新的一天，他查看每株植物的需水量（梯度），并参考之前的浇水记录，为每一株植物精细调整水量——对于那些过去经常被大量浇水（梯度变化大）的植物，这次就只给一点点水，以免淹死；而对于那些很少得到水分（梯度变化小）的植物，则慷慨地多浇一些，帮助它们更好地成长。

这样做有什么好处呢？首先，它确保了对每株植物（参数）的关照恰到好处，不会因为过度或不足的调整而导致整个花园（模型）的不平衡。其次，它能有效处理花园中那些生长环境差异大的植物，就像深度学习模型中参数的重要性各不相同一样，AdaGrad能够根据实际情况给予最合适的调整。

（2）通过定义来理性认识

Adagrad（ Adaptive Gradient 的缩写），即自适应梯度算法，是一种先进的梯度下降优化方法，特别适用于处理稀疏数据和具有特征数量庞大的问题。它通过自适应地调整每个参数的学习率来优化模型训练过程，以应对不同参数在不同时间步可能需要不同学习速率的情况。

Adagrad的更新规则定义如下：

对于目标函数 $J(\theta)$ ，计算每个参数 $\theta_i$ 的梯度 $g_{t,i}$
对所有参数计算梯度平方的累积和 $G_{t,i} = G_{t-1,i} + g_{t,i}^2$
更新每个参数，其中 $\eta$ 是全局学习率， $\epsilon$ 是一个小的平滑项（如 $10^{-8}$ ）防止除以零： $\theta_{t,i} = \theta_{t-1,i} - \frac{\eta}{\sqrt{G_{t,i} + \epsilon}} \cdot g_{t,i}$