「网络流 24 题」魔术球

注意这里的球是依次放置，也就是说如果当前放到第 $i$ 号球，那么 $1\to i-1$ 号球都已经放好了，否则可以放无数个球

思路

首先我们对于 $i<j且i+j=完全平方数$ 连边：$i\to j$
并且我们假设当前我们要构造答案 $x$，也就是说 $[1,x]$ 号球我们都要放好
那么对于这张有 $x$ 个点的有向无环图，我们等价于要找一些路径去覆盖整张图，并且路径数越少越好！同一路径上的点就表示我们将这些球按顺序放在同一柱子上

我们可以从小到大枚举答案 $n$，并且在之前的基础上添加新的有向边 $i\to nifi+n=完全平方数$，然后跑一个最小路径覆盖，判断所需的柱子数是否小于等于给定的柱子数即可

时间复杂度：$O(n\cdot (n+nm))，m$ 为边数

// Problem: #6003. 「网络流 24 题」魔术球
// Contest: LibreOJ
// URL: https://loj.ac/p/6003
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 1000 ms
// 
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#include<bits/stdc++.h>
#define fore(i,l,r)	for(int i=(int)(l);i<(int)(r);++i)
#define fi first
#define se second
#define endl '\n' 
#define ull unsigned long long

const int INF=0x3f3f3f3f;
const long long INFLL=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;

typedef long long ll;

const int N = 2500;

std::vector<int> match; //match[i]表示每个右点i当前匹配的左点
std::vector<bool> used; //当前轮 右点 i 是否被预定
std::vector<int> g[N];

bool dfs(int l){ //为当前左点 l 寻找匹配
    for(auto r : g[l])
        if(!used[r]){ //如果当前轮右点r还没有被预订
            used[r] = true; //预定
            if(!match[r] || dfs(match[r])){
                match[r] = l;
                return true;
//（1）如果右点 r 还没有配对
//（2）右点 r 已经配对，尝试更换其原配左点
            }
        }
    return false;
}

int main(){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
    int k;
    std::cin >> k;
    int cnt = 0;
    fore(n, 1, N){
    	match.assign(n + 1, 0);
    	fore(i, 1, n){ //在原先的基础上加边
    		int w = i + n;
    		int rt = sqrt(w);
    		if(rt * rt != w)	continue;
    		g[i].push_back(n);
    	}
    	
    	int num = 0; //最大匹配数
    	fore(i, 1, n + 1){
    		used.assign(n + 1, false);
    		num += dfs(i);
    	}
    	num = n - num; //最小路径覆盖
    	if(num > k)	break; //柱子不够
    	cnt = n;
    }
    
    std::cout << cnt << endl;
    
    std::vector<int> nxt(cnt + 1, 0);
    std::vector<bool> head(cnt + 1, true);
    fore(v, 1, cnt + 1){
    	int u = match[v];
    	if(!u)	continue;
    	head[v] = false;
    	nxt[u] = v;
    }
    
    fore(i, 1, cnt + 1){
    	if(!head[i])	continue;
    	int u = i;
    	while(nxt[u]){
    		std::cout << u << ' ';
    		u = nxt[u];
    	}
    	std::cout << u << endl;
    }
    
    
	return 0; 
}