整数拆分
给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
- 输入: 2
- 输出: 1
- 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
- 输入: 10
- 输出: 36
- 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
- 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。
题解思路大致如下：
更加严格的证明如下（原题为1976年imo第四题）：
那么思路就明了了，对于n > 4的情况，尽可能的将数分解为3的和，递推公式即为dp[i] = dp[i - 3] *3;
动态规划五部曲：
1.确定dp数组及其下标含义：
此处定义一维数组dp[i]，下标i对应的是正整数的值，dp[i]则对应的是最大的正整数乘积；
2.确定递推公式：
dp[i] = dp[i - 3]*3(i > 4)
3.dp数组如何初始化：
dp[0] = 1, dp[1] = 1, dp[2] = 2, dp[3] = 4;即对应i <= 4的情况下的值，这样可以统一返回dp[i]，不用做多次处理；
4.dp数组应该如何遍历：
本题很显然是从左到右顺序遍历；
5.打印dp数组：
1 1 2 4 6 9 12 18 27 36 54 81 108 162 ……
代码实现如下：
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution {
private:
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n+1);
//dp[0] = 1;//不用初始化，因为n >= 2
if (n == 2) return 1;
else if (n == 3) return 2;
else if (n == 4) return 4;
else if (n == 5) return 6;
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
dp[3] = 4;
dp[4] = 6;
dp[5] = 9;
for (int i = 6; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i - 3] * 3;
}
return dp[n - 1];
}
public:
int test(int n) {
return integerBreak(n);
}
};
int main() {
cout << "Please enter the target integer:(n >= 2)" << endl;
int n;
cin >> n;
Solution mySolution;
int res = mySolution.test(n);
cout << "The Max product is:" << res << endl;
cout << "the dp array will be shown as below:" << endl;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
cout << mySolution.test(i) << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
很明显，这段代码是有很大的缺陷的，首先是初始化的过程太繁琐，理应有更简单的方法，其次由于初始化的时候已经初始化到了dp[5]，所以一开始就需要n >= 4的时候才能正常运行，不然会报数组越界的错，最后就是这道题与其说是动态规划，更不如说是像贪心；
重新考虑第二步递推公式：
拆分整数有两种方法，即拆分成两数相乘和多数相乘：
一个是j * (i - j) 直接相乘；
一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)；
考虑简化：
int integerBreak(int n) {
vector<int> dp(n+1);
dp[2] = 1;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
}
}
return dp[n];
}
不同的二叉搜索树
给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例:
先举例看看n = 1和n = 2时：
n = 3:
当①为头节点时，其右子树的布局和n= 2的情况类似；
当②为头节点时，其子树布局和n = 1时类似；
当③为头节点时，其左子树布局也和n = 2时一致；
①为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
②为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
③为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]；
所以递推公式可以得到dp[i] += dp[j -1]*dp[i - j];
递推五部曲：
1.确定dp数组以及下标的含义：
dp[i] :节点1到节点i组成的二叉搜索树的个数为dp[i]；
2.确定递推公式：
dp[i] += dp[j -1]*dp[i - j];
j-1 为j为头结点左子树节点数量，i-j 为以j为头结点右子树节点数量
3.dp数组初始化：
从定义上来讲，空节点也是一棵二叉树，也是一棵二叉搜索树;
从递归公式上来讲，dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0，也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] = 1， 否则乘法的结果就都为0；
即dp[0] = 1;
4.确定遍历顺序：
由递归公式：dp[i] += dp[j -1]*dp[i - j];
节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
5.举例dp数组：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= i; j++) {
dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
};
