【问题描述】
古希腊数学家毕达哥拉斯在自然数研究中发现，220的所有真约数（即不是自身 的约数）之和为： 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284。而284的所有真约数为1、2、4、71、142，加起来恰好为220。人 们对这样的数感到很惊奇，并称之为亲和数。一般地讲，如果两个数中任何一个数都是另一个数的真约数 之和，则这两个数就是亲和数。
220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数。第二对亲和数(17296，18416)直到2000多年后的1636年才由法国数学家费马发现。1638年，法国数学家笛 卡儿发现了第三对亲和数，而大数学家欧拉在1747年一下子给出了30对亲和数， 1750年又增加到60对。到目前为止，人类已经发现了近千对亲和数。然而，令人惊 奇的是，第二对最小的亲和数(1184，1210)竟然被数学家们遗漏了，直到1886年才 由意大利的一位16岁男孩发现。
这里不要求你找到一对亲和数，而是对于每个正整数n，求出这个数的真约数之和。
比如，n=220，答案是284，如果n=284，答案是220。
【输入形式】
有多组测试数据，每组测试数据一行，是一个正整数n， n=0意味着输入结束并且不需要处理。
40%的测试数据1 ≤ n≤ 10(3)；30%的测试数据1 ≤ n≤ 10(4)；
20%的测试数据1 ≤ n≤ 10(5)；10%的测试数据1 ≤ n≤ 10(6)；
【输出形式】
对于每组测试数据，输出一行，包含一个正整数，表示n的真约数之和。
【样例输入】
220
284
0【样例输出】
284
220解题思路
问题关键：如何高效地找到一个数的所有真约数之和。一个直观的方法是遍历从1到n-1的所有数，检查它们是否是n的约数，并计算它们的和。然而，这种方法在n非常大时会非常慢。更高效的方法是只遍历到，因为大于
的约数可以通过n / 约数 得到。这样可以显著减少计算量。
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对于每个输入的正整数n，初始化一个变量sum来存储真约数之和，初始值为1（因为1是所有正整数的真约数）。
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从2遍历到
，对于每个i，检查它是否是n的约数。
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如果i是n的约数，检查i是否等于 n / i（即检查是否是平方根）。
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如果是，只加i到sum（因为在这种情况下，i和 n / i实际上是同一个数）。
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如果不是，将 i 和 n / i 都加到sum。
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特别注意，如果n为1，其真约数之和应为0，因为1没有真约数。
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输出sum。
Java代码
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
while (true) {
int n = scanner.nextInt();
if (n == 0) break; // 输入结束
System.out.println(sumOfDivisors(n));
}
scanner.close();
}
// 计算并返回n的真约数之和
private static int sumOfDivisors(int n) {
if (n == 1) return 0; // 1没有真约数
int sum = 1; // 所有数都至少有一个真约数1
// 只需要检查到sqrt(n)，因为大于sqrt(n)的约数可以通过n / 约数得到
for (int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
if (n % i == 0) {
sum += i;
if (i != n / i) { // 避免平方根被加两次
sum += n / i;
}
}
}
return sum;
}
}
