动手学深度学习（二）线性神经网络

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回归任务是指对连续变量进行预测的任务。

一、线性回归

线性回归模型是一种常用的统计学习方法，用于分析自变量与因变量之间的关系。它通过建立一个关于自变量和因变量的线性方程，来对未知数据进行预测。

1.1 线性模型

举个例子，房价预测模型：

假设1︰影响房价的关键因素是卧室个数，卫生间个数和居住面积，记为x1，x2，x3。
假设2：成交价是关键因素的加权和， $y = w_1x_1 + w_2x_2 + w_3x_3 + b$

权重 $w$ 和偏差 $b$ 的实际值在后面决定。

给定n维输入， $x=[x_1,x_2, ....x_n]^T$ ，向量x对应于单个数据样本的特征。
线性模型有一个n维权重和一个标量偏差， $w =[w_1, w_2, ..., w_n]^T$ ， $b$ 。权重 $w$ 决定了每个特征对预测值的影响。偏置 $b$ 是指当所有的特征都取0时，预测值应为多少。
输出是输入的加权和， $\hat{y} = w_1x_1+w_2x_2+ ...+ w_nx_n + b$ 。我们常用 $\hat{y}$ 表示预测值。

则，该房价预测模型为： $\hat{y} = w^Tx+ b$ ，这是一个线性预测模型。给定一个数据集（如x），我们的目标就是寻找模型的权重 $w$ 和偏置 $b$ ，使得根据模型做出的预测大体符合数据中真实价格 $y$ 。也是就说最佳的权重 $w$ 和偏置 $b$ 有能力使得预测值 $\hat{y}$ 逼近真实值 $y$ ，找到最佳的权重 $w$ 和偏置 $b$ 这是我们的最终目的。

1.2 损失函数（衡量预估质量）

用于比较真实值和预估值的差异，即以特定规则计算真实值和预估值的差值，例如房屋售价和估价。

假设 $y$ 是真实值， $\hat{y}$ 是预测值，平方差损失为 $\ell(y,\hat{y})=(y-\hat{y})^2$ ，我们以该函数作为损失函数。

设训练集有n个样本，则这n个样本的损失均值为

$L(w, b)=\frac{1}{n}\sum_{n}^{i=1}\ell^i(y,\hat{y})=\frac{1}{n}\sum_{n}^{i=1}(y_i-\hat{y_i})^2=\frac{1}{n}\sum_{n}^{i=1}(y_i-w^Tx_i+b)^2$

Q：那么损失函数，对我们找到最优的权重 $w$ 和偏置 $b$ 有什么帮助呢？

我们可以看到，最佳的预测值与真实值之间的损失值一定是尽可能小的，因此我们只要求得最小的损失值，那么得到这个损失值的权重 $w$ 和偏置 $b$ 一定是最优的。

Q：怎么求得最小的损失值呢？

如，平方差损失函数是一个凹函数，那么求解最小的损失值，我们只需要将该函数关于 $w$ 的偏导数设为0，求导即可。求解得到的 $w$ 就是最优的权重 $w$ 。预测出的预估值 $\hat{y}$ 也就最接近真实值。这类解称为解析解。

二、基础优化算法（梯度下降算法）

在绝大多数的情况下，损失函数是很复杂的（比如逻辑回归），根本无法得到参数估计值的表达式，也就无从获取没有显示解（解析解）。

此需要一种对大多数函数都适用的方法，这就引出了“梯度下降算法”，这种方法几乎可以优化所有深度学习模型。它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差（原理）。

2.1 梯度下降公式

首先，我们需要确定初始化模型的参数 $w_0$ ，接下来重复迭代更新参数t=1、2、3、....、n，更新权重的公式为：

其中， $\textup{w}_{t-1}$ 为上一次更新权重的结果， $\eta$ 为学习率（这是一个超参数，决定了每次参数更新的步长）， $\frac{\partial \ell }{\partial \textup{w}_{t-1}}$ 为损失函数递增的方向（注意公式中为负）。

2.2 选择学习率

梯度下降的过程宛如一个人在走下山路，一步一步地接近谷底，学习率相当于这个人的步长。

学习率的选取不易过大，也不宜过小。学习率选取过大会使得权重更新的过程一直在震荡，而不是真正的在下降。学习率选取过小，会使得权重更新的过程十分缓慢，影响效率。

2.3 小批量随机梯度下降

一个神经网络模型的训练可能需要几分钟至数个小时，我们可以采用小批量随机梯度下降的方式来加快这一过程。

在整个训练集上计算梯度太昂贵了，因此可以随机采用 $b$ 个样本 $i_1,i_2,...,i_b$ 来求取整个训练集的近似损失（原理）。求近似损失公式为：

其中， $b$ 是批量大小，另一个重要的超参数。

Q：如何选择批量大小？

选择批量大小不能太小，也不能太大。批量大小选择过小，则每次计算量太小，不适合并行来最大利用计算资源。批量大小选择过大，内存消耗增加浪费计算，例如如果所有样本都是相同的。

三、线性回归的从零开始实现（代码实现）

3.1 生成数据集

首先，我们根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集，我们的目的是通过这个数据集来还原线性模型中正确的参数。

我们使用线性模型参数 $\textup{w}=[2,-3.4]^T$ ， $b = 4.2$ 和噪声项 $\varepsilon$ 生成数据集及其标签。

# 生成数据集
def synthetic_data(w, b, num_examples):
    """生成 y=Xw + b + 噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w))) # 正态分布（均值为0，标准差为1）
    y = torch.matmul(X, w) + b # 矩阵相乘
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape) # 加入噪声项
    # 得到的y为行向量的形式，为了使其变为一列的形式需要进行reshape
    return X, y.reshape((-1, 1))

3.2 传输数据集

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读出的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(indices[i:min(i+batch_size,num_examples)])
        
        yield features[batch_indices],labels[batch_indices]

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