Game Theory In Competitive Programming|Part1

在算法竞赛中，博弈论是一个经常出现的题目类型。通常是两个人在给定规则下，每个人都按照最优策略进行博弈，我们的任务是找出获胜者。这通常是贪心算法、动态规划等算法的混合。下面，将对博弈论中的一些经典问题进行讨论。

在这里，我们讨论的是博弈游戏中的一类，即能够找到必胜策略的博弈。

并分析它的通用策略是什么？

Bash game

巴什博弈是一个简单的游戏，我们将通过分析这个游戏来引出我们分析博弈游戏的通用策略

让我们考虑这样一个游戏：

题目：

最初有一堆数量为$15$的石子，选手甲、乙交替操作，每次操作需要从石子堆中拿走不超过$3$个石子。

甲先手操作，取走最后一个石子的选手获胜。请问最终谁获胜？

分析：

没错，这是一个有必胜策略的游戏。

如果必胜策略不明显的话，不妨手动写出所有的状态来观察规律。

(这是一种常用的解决博弈问题的手段)。

下图为当先手操作时，面对特定的石子数量的时候，游戏最终的结果：

(L：Lose，W：Win)。

石子个数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
最终结果	L	W	W	W	L	W	W	W	L	W	W	W	L	W	W	W

结论：

不难观察出，当石子个数被$4$​整除的时候，先手必败，否则先手必胜。

这是为什么呢？

是因为，几乎所有具有必胜策略的游戏，都遵守两条关于必胜态，必败态的准则：

• 如果当前状态能转移到必败态，当前状态是必胜态。
• 如果当前状态只能转移到必胜态，当前状态是必败态。

我们能知道的是，$0$是一个必败态。而先手能一次拿走$1\sim 3$个石子。

故当石子个数为$1$、$2$、$3$的时候，

这三个状态能转移到必败态，所以它们是必胜态。

于是我们可以抽象出一张图：（黑色是必败点，粉色是必胜点）。

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现在我们将题目改的更普通一点还能得到必胜策略吗？

题目：

最初有一堆数量为$N$的石子，选手甲、乙交替操作，每次操作需要从石子堆中拿走不超过$k$个石子。

甲先手操作，取走最后一个石子的选手获胜。请问最终谁获胜？

必胜策略：

如果石子的个数是$(k+1)$​的整数倍，说明先手必败，否则先手必胜。

我们依然能通过画图列表来得到这个结论。

这说明它们是博弈游戏中通用的观察必胜策略的手段。

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现在我们考虑另一个游戏来试验这种分析手段是否可行：

题目：

最初有一堆数量为$8$的石子，选手甲、乙交替操作，每次操作可以从石子堆中拿走数量为$x$的石头，

$x$是当前石子数量的约数，且小于当前石子数量。

甲先手操作，无法取石头的人输。请问最终谁获胜？

分析：

石头数量	1	2	3	4	5	6	7	8
最终结果	L	W	L	W	L	W	L	W

通过列表的方法，我们发现了这样的结论：当石头个数为奇数，先手必败，否则先手必胜。

Nim game

Nim游戏是博弈游戏中的一个重要角色，因为它和其他很多博弈有着相同的特性。

甚至能用相同策略进行解决，我们将重点讨论Nim游戏，Nim游戏的策略推广到其他博弈。

题目：

最初有$n$堆石子，第$i$堆石子最初有$x_i$个。

$Alice、Bob$轮流操作，每次操作可以选择拿走一堆石子中取任意数量的石子(至少为$1$)。

无法取石子的玩家输掉比赛。

这也是一个具有必胜策略的游戏。

结论：

设每一堆石子最初的数量异或和为：$s$ $(s=x_1⨁x_2⨁...⨁x_n)$。

当$s=0$的时候，先手必败，否则先手必胜。

分析：

不妨设$W$是必胜态，$L$是必败态。

根据之前说的理论：

• 如果当前状态能转移到必败态，当前状态是必胜态。
• 如果当前状态只能转移到必胜态，当前状态是必败态。

需要验证$Nimgame$的结论是否符合上述理论：

1、当$s=0$时，拿走任意一堆的任意数量的石头，都会使得$s\ne 0$。

2、当$s\ne 0$时，总有方法拿走某个堆的某个数量的石头，使得$s=0$。​

验证：

设$x_1,...,x_n$是移动前的各堆石子数，$y_1,...y_n$是移动后各堆石子数。

$s=x_1⨁...⨁x_n$，$t=y_1⨁...⨁y_n$

可以进行等价变换：

$t=0⨁t$

$=s⨁s⨁t$

$=s⨁(x_1⨁...⨁x_i⨁...⨁x_n)⨁(y_1⨁...⨁y_i⨁...⨁y_n)$

$=s⨁(x_1⨁y_1)...(x_i⨁y_i)...(x_n⨁y_n)$

$=s⨁x_i⨁y_i$​

$=s⨁x_i⨁y_i$

$x_i$代表的是第$i$堆在操作前的石子数量，$y_i$是操作后的石子数量，因为只操作了一堆，所以其他堆的异或值是$0$​。

理论$1$：

• 当$s=0$时，拿走任意一堆的任意数量的石头，都会使得$s\ne 0$。

当$s=0$时，若想要$t=0$，那么说明$x_i=y_i$，不可能实现。

理论$2$：

• 当$s\ne 0$时，总有方法拿走某个堆的某个数量的石头，使得$s=0$。

当$s\ne 0$时，若想要$t=0$，只需要令$ y_i=s\bigoplus x_i$ 即可，也就转证为是否存在一个堆满足$x_i>s⨁x_i$。

这是存在的：

设$d$为$s$二进制中最左边$1$的位置。

可以选择第$i$堆，使得$x_i$在第$d$位是$1$（这样的堆一定存在不然$s$的第$d$位只能是$0$）。

此时$y_i=x_i⨁s$ 。

这也代表着，$y_i$ 在$d$的左边的所有位都与$x_i$相同，但第$d$位为$0$，所以$y_i<x_i$

Misère Nim game

这是Nim game的相反版本，因为它规定，取走最后一个石子的人是输家。

这样的情况是比较复杂的，因为我们不能简单的取反Nim game的结论。

我们假设Misère Nim game的获胜条件是：

设每一堆石子最初的数量异或和为：$s$ $(s=x_1⨁x_2⨁...⨁x_n)$

当$s=0$的时候，先手必胜，否则先手必败。

我们需要证明这是错的：

显然能找到反例，当只有$1$堆，且这一堆的石子数量为$1$的时候，$s\ne 0$，但先手败了。

所以简单的取反Nim game的结论是无法解决这样的问题的。

给出结论：

1、如果每堆石子个数都是$1$，结论与Nim game相反

2、若存在石子数量大于$1$​的石子堆，此时结论与Nim game相同。

证明$1$是对的：

如果每一堆石子个数都是1，如果有奇数堆，显然先手必败，如果有偶数堆，显然先手必胜。

证明$2$是对的：

设先手面临的局面是：$s\ne 0$。

先手进行一次操作使得局面变为$s=0$。

后手不管怎么操作，都只能将这个局面变为$s\ne 0$。

不断这样下去，在游戏的终态总会出现两堆不一样的石子$(s\ne 0)$。

因为我们已经假设石子数大于$1$，可以证明的是，在这种情况下，先手总是能迫使后手移走最后一个棋子。

设最终剩下了两堆石子，每堆石子的数量为$x$，$y$ $(x>y)$。

1、如果$y=1$，那么先手直接拿走$x$，后手只能被迫拿走最后一个石头，先手获胜。

2、如果$y\ne 1$，那么先手拿走$x-y$，后手的操作情况如下：

• 拿走一堆，此时先手只需要将另一堆拿至剩下$1$，后手只能被迫拿走最后一个石子，先手获胜。
• 将一堆拿至剩下$1$，此时先手只需要将另一堆拿走，后手只能被迫拿走最后一个石子，先手获胜。
• 拿走一堆中的一些，此时先手仿照后手拿走另一堆的相同数量即可。

所有情况总是先手获胜，所以证明了结论2。