【论文阅读】Tutorial on Diffusion Models for Imaging and Vision

1.The Basics: Variational Auto-Encoder

1.1 VAE Setting

自动编码器有一个输入变量x和一个潜在变量z

Example. 获得图像的潜在表现并不是一件陌生的事情。回到jpeg压缩，使用离散余弦变换（dct）基φn对图像的底层图像/块进行编码。如果你给我们一个imagex，我们会给你一个系数向量z。从z我们可以做逆变换来恢复（即解码）图像。因此，系数向量z是潜在码。编码器是dct变换，解码器是逆dct变换

变分 variational 这个名字来源于我们用概率分布来描述x和z的因子。我们更感兴趣的不是求助于将x转换为z的确定性过程，而是确保分布p（x）可以映射到所需的分布p（z），并向后返回到p（x）

p（x）：x的分布。如果我们知道的话，我们早就成为亿万富翁了。整个星系的扩散模型都是为了找到从p（x）中提取样本的方法
p（z）：潜在变量的分布。因为我们都很懒惰，所以让我们把它设为零均值单位方差高斯p（z）=n（0，i）
p(z|x):与编码器相关的条件分布，它告诉我们给定x时z的可能性，我们无法访问它。P (z|x)本身不是编码器，但编码器必须做一些事情，以便它与P (z|x)保持一致
p(x|z):与解码器相关的条件分布，它告诉我们在给定z的情况下得到x的后验概率，同样，我们无法访问它。

Example.

考虑根据高斯混合模型分布的随机变量x，其中潜变量z∈{1，…，k}表示簇恒等式，使得 $p_Z(k)=\mathbb{P}[Z=k]=\pi_k$ for k=1...k.我们假设 $\sum_{k=1}^{K}\pi_{k}=1$ 。那么，如果我们被告知只需要看第k个簇，给定z的x的条件分布是 $p_{\mathbf{X}|Z}(\mathbf{x}|k)=\mathcal{N}(\mathbf{x}|\mu_{k},\sigma_{k}^{2}\mathbf{I}).$

x的边际分布可以用总概率定律找到 $p_{\mathbf{X}}(\mathbf{x})=\sum_{k=1}^Kp_{\mathbf{X}|Z}(\mathbf{x}|k)p_Z(k)=\sum_{k=1}^K\pi_k\mathcal{N}(\mathbf{x}|\boldsymbol{\mu}_k,\sigma_k^2\mathbf{I}).$

因此，如果我们从px（x）开始，编码器的设计问题是构建一个神奇的编码器，使得对于每个样本x～px（x，潜在编码将是z∈{1，…，k}，分布为z～pz（k）。为了说明编码器和解码器是如何工作的，让我们假设均值和方差是已知的并且是固定的。否则，我们将需要通过em算法来估计均值和方差。这是可行的，但繁琐的方程会破坏本说明的目的

Encoder：我们如何从x中获得z？这很容易，因为在编码器处，我们知道px（x）和z（k）。假设你只有两个类z∈{1,2}。实际上，你只是在做一个二进制决定，决定样本x应该属于哪里。有很多方法可以做二进制决定。最大后验maximum-a-posteriori：

Decoder：在解码器方面，如果我们得到一个潜在代码z∈{1，…，k}，神奇的解码器只需要返回一个样本x，它是从 $p_{\mathbf{X}|Z}(\mathbf{x}|k)=\mathcal{N}(\mathbf{x}|\mu_{k},\sigma_{k}^{2}\mathbf{I})$ 中提取的。不同的z将给出k个混合物组分中的一个。如果我们有足够的样本，总体分布将遵循高斯混合。

如果我们想找到神奇的编码器和解码器，我们必须有办法找到这两个条件分布

在vae的文献中，人们提出了一个考虑以下两种代替分布 proxy distributions 的想法：

$q_{\boldsymbol{\phi}}(\mathbf{z}|\mathbf{x})$ ：p（z|x）的代理。我们将使它成为高斯。为什么是高斯的？没有特别好的理由。
$p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}|\mathbf{z})$ ：p（x|z）的代理。信不信由你，我们也会把它变成高斯的。但这个高斯的作用与高斯 $q_{\boldsymbol{\phi}}(\mathbf{z}|\mathbf{x})$ 略有不同。虽然我们需要估计高斯 $q_{\boldsymbol{\phi}}(\mathbf{z}|\mathbf{x})$ 的均值和方差，但我们不需要估计高斯 $p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}|\mathbf{z})$ 的任何值。相反，我们将需要一个解码器神经网络来将z转换为x。高斯 $p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}|\mathbf{z})$ 将用于通知我们生成的图像x有多好。

“正向 forward ”关系由p（z|x）指定（并由qφ（z|x）近似），而“反向”关系由p（x|z）指定（且由pθ（x|z）近似）。

Example.

假设我们有一个随机变量x和一个潜变量z： $\begin{aligned}&\mathbf{x}\sim\mathcal{N}(\mathbf{x}\mid\mu,\sigma^{2}),\\&\mathbf{z}\sim\mathcal{N}(\mathbf{z}\mid0,1).\end{aligned}$

我们的目标是建造一个VAE。（什么？！这个问题有一个平凡的解，其中z=（x−μ）/σ，x=μ+σz。你是绝对正确的。但请遵循我们的推导，看看VAE框架是否合理。）

我们的意思是要构造两个映射“encode”和“decode”。为了简单起见，我们假设这两个映射都是仿射变换 affine transformations：

我们懒得找出联合分布p（x，z），也懒得找出条件分布p（x|z）和p（z|x）。但我们可以构造代理分布qφ（z|x）和pθ（x|z）。既然我们可以自由选择qφ和pθ应该是什么样子，那么我们考虑下面两个高斯如何

对于qφ（z|x）：如果给定x，我们当然希望编码器根据我们选择的结构对分布进行编码。由于编码器结构是ax+b，所以qφ（z|x）的自然选择是具有平均值ax+b。方差被选择为1，因为我们知道编码样本z应该是单位方差。

类似地，对于pθ（x|z）：如果我们给定z，解码器必须采用cz+d的形式，因为这就是我们设置解码器的方式。方差是c，这是我们需要计算的一个参数。

1.2 Evidence Lower Bound

我们如何使用这两个代理分布来实现确定编码器和解码器的目标？如果我们将φ和θ作为优化变量，那么我们需要一个目标函数（或损失函数），以便我们可以通过训练样本来优化φ和θ。为此，我们需要建立一个关于φ和θ的损失函数。我们在这里使用的损失函数被称为证据下界 Evidence Lower BOund（ELBO）

让我们看看elbo是什么意思以及它是如何派生的

简而言之，elbo是先前分布log p（x）的下界，因为我们可以证明

其中不等式源自kl散度总是非负的事实。因此，elbo是logp（x）的有效下界。由于我们从来没有访问过logp（x），如果我们以某种方式访问过elbo，并且elbo是一个很好的下界，那么我们可以有效地最大化elbo，以实现最大化logp（x）的目标，这是黄金标准。

正如你从方程和图2中看到的，当我们的代理qφ（z|x）可以精确地匹配真实分布p（z|x）时，不等式将变成等式。因此，游戏的一部分是确保qφ（z|x）接近p（z|x）。

Proof of Eqn (3).

这里的全部技巧是使用我们的神奇代理qφ（z|x）来绕过p（x）并导出边界。

最后一个等式： $\int a\times p_Z(z)dz=\mathbb{E}[a]$ 对于任意随机变量Z和标量a，有 $\mathbb{E}[a]=a$

我们已经得到了方程 $\mathbb{E}_{q_{\phi}(\mathbf{z}|\mathbf{x})}[\cdot]$ 。只需多走几步。让我们使用bayes定理，该定理指出 $p(\mathbf{x},\mathbf{z})=p(\mathbf{z}|\mathbf{x})p(\mathbf{x})$ ：

我们现在有elbo。但是这个elbo仍然不太有用，因为它涉及p（x，z），这是我们无法访问的

让我们仔细看看elbo：

其中我们不可访问的p（x|z）替换为其代理 $p_{\boldsymbol{\theta}}(\mathbf{x}|\mathbf{z})$

在方程（6）中存在两个项：

Reconstruction 重建：关于解码器，如果我们将潜在的z馈送到解码器中，我们希望解码器产生好的图像x。因此，我们希望最大化log pθ（x|z）。它类似于最大似然，其中我们想要找到模型参数以最大化观察图像的似然。这里的期望是关于样本z（以x为条件）而取的。这并不奇怪，因为样本z用于评估解码器的质量。它不能是任意的噪声矢量，而是有意义的潜在矢量。因此，z需要从 $q_{\boldsymbol{\phi}}(\mathbf{z}|\mathbf{x})$ 中采样
Prior Matching 先验匹配：第二项是编码器的kl散度。我们希望编码器将x转换为潜在向量z，这样潜在向量将遵循我们选择的分布 $\mathcal{N}(0,\mathbf{I})$ 。为了更一般，我们将p(z)写为目标分布。因为kl是一个距离(当两个分布变得更不相似时它会增加)，我们需要在前面加一个负号，这样当两个分布变得更相似时它就会增加

Example.

我们从之前的推导中知道

为了确定θ和φ，我们需要最小化先验匹配误差并最大化重建项。对于先前的匹配，我们知道

，使KL散度最小，因此，

对于reconstruction项，我们知道

由于e[z] = 0, var[z] = 1，因此当c = σ， d = μ时，项最大（负的项分数最小）。综上所述，编码器和解码器参数为

重构项和先验匹配项如图3所示。在这两种情况下，在训练过程中，我们假设我们可以访问z和x，其中z需要从qφ(z|x)中采样。然后，对于重建，我们估计θ以最大化pθ (x|z)。对于先验匹配，我们找到φ以最小化kl散度。优化可能具有挑战性，因为如果更新φ，分布qφ(z|x)将发生变化

1.3 Training VAE

既然我们理解了elbo的含义，我们就可以讨论如何训练vae了。为了训练vae，我们需要地面真值对（x，z）。我们知道如何得到x；它只是来自数据集的图像。但相应地，z应该是什么？

让我们来谈谈编码器。我们知道z是由分布qφ（z|x）生成的。我们还知道qφ（z|x）是高斯的。假设这个高斯有一个均值μ和一个协方差矩阵 $\sigma^{2}\mathrm{I}$ （哈！又是我们的懒惰！我们不使用一般的协方差矩阵，而是假设方差相等）。

棘手的部分是如何从输入图像x中确定μ和 $\sigma^{2}\mathrm{I}$ 。我们构建了一个深度神经网络，这样

因此，样本z(ℓ)（ℓ 表示训练集中的第ℓ个训练样本）可以从高斯分布中采样

这个想法总结在图4中，我们使用神经网络来估计高斯参数，并从高斯中提取样本。注意 $\mu_{\phi}(\mathbf{x}^{(\ell)})$ 和 $\sigma_{\phi}^{2}(\mathbf{x}^{(\ell)})$ 是x的函数(ℓ). 因此，对于不同的 $\mathrm{x}^{(\ell)}$ 我们将有一个不同的高斯

Remark.

对于任何高维高斯分布 $\mathrm{x}\sim\mathcal{N}(\mathrm{x}|\mu,\Sigma)$ ，采样过程都可以通过白噪声的变换来完成

半矩阵 half matrix $\Sigma^{\frac12}$ 可以通过特征分解或cholesky分解得到。对于对角矩阵 $\Sigma=\sigma^{2}\mathbf{I}$ ，以上简化为