数据结构与算法之经典排序算法

一、简单排序

在我们的程序中，排序是非常常见的一种需求，提供一些数据元素，把这些数据元素按照一定的规则进行排序。比如查询一些订单按照订单的日期进行排序，再比如查询一些商品，按照商品的价格进行排序等等。所以，接下来我们要学习一些常见的排序算法。

1.1冒泡排序（Bubble Sort）

冒泡排序（Bubble Sort），是一种计算机科学领域的较简单的排序算法。

排序原理：

  1. 比较相邻的元素。如果前一个元素比后一个元素大，就交换这两个元素的位置
  2. 对每一对相邻元素做同样的工作，从开始第一对元素到结尾的最后一对元素。最终最后位置的元素就是最大值

在这里插入图片描述

排序API设计：

类名Bubble
构造方法Bubble（）：创建Bubble对象
成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序
2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)：判断v是否大于w，从小到大排序
3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)：交换数组中i和j位置的元素

代码实现：

Bubble

package com.itcast.algorithm.sort;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/4/30
 * @Description: 冒泡排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class Bubble {
    /**
     * 对数组a中的元素进行排序
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        for (int i = a.length - 1; i > 0; i--) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (greater(a[j], a[j + 1])) {
                    exch(a, j, j + 1);
                }
            }
        }
    }


    /**
     * 判断v是否大于w，从小到大排序
     * < 0 则是从大到小排序
     *
     * @param v
     * @param w
     * @return
     */
    private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) > 0;

    }

    /**
     * 交换数组中i和j位置的元素
     *
     * @param a
     * @param j
     * @param i
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}

TestBubble

package com.itcast.algorithm.test;

import com.itcast.algorithm.sort.Bubble;

import java.util.Arrays;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/4/30
 * @Description: 测试冒泡排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class TestBubble {
    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {4, 5, 6, 3, 2, 1};
        Bubble.sort(arr);

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

时间复杂度分析：

冒泡排序使用了双层for循环，其中内层循环的循环体是真正完成非序的代码，所以，我们分析冒泡排序的时间复杂度，主要分析一下内层循环体的执行次数即可。

在最坏情况下，也就是假如要排序的元素为{6,5,4,3,2,1}逆序，那么：

元素比较的次数为:

(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;

元素交换的次数为:

(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;

总执行次数为:

(N^2/2-N/2)+( N ^2/2-N/2)=N ^2-N;

按照大O推导法则，保留函数中的最高阶项那么最终冒泡排序的时间复杂度为O(N^2).

1.2选择排序（Selection Sort）

选择排序（Selection Sort）是一种更加简单直观的排序方法。

排序原理：

  1. 每一次遍历的过程中，都假定第一个索引处的元素是最小值，和其他索引处的值依次进行比较，如果当前索引处的值大于其他某个索引处的值，则假定其他某个索引处的值为最小值，最后可以找到最小值所在的索引
  2. 交换第一个索引处和最小值所在的索引处的值

在这里插入图片描述

排序API设计：

类名Selection
构造方法Selection（）：创建Selection对象
成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序
2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)：判断v是否大于w，从小到大排序
3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)：交换数组中i和j位置的元素

代码实现：

Selection

package com.itcast.algorithm.sort;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/1
 * @Description: 选择排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class Selection {

    /**
     * 对数组a中的元素进行排序
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {

        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            // 假设当前元素为最小值
            int min = i;
            // 遍历数组中的元素，找到最小值
            for (int j = i + 1; j < a.length; j++) {
                if (greater(a[min], a[j])) {
                    min = j;
                }
            }
            // 将最小值与当前元素交换
            exch(a, i, min);
        }
    }

    /**
     * 比较v元素是否大于w元素
     * < 0 则是从大到小排序
     */
    private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) > 0;
    }

    /**
     * 交换数组中的i和j两个元素
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }
}

TestSelection

package com.itcast.algorithm.test;

import com.itcast.algorithm.sort.Insertion;

import java.util.Arrays;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/1
 * @Description: 测试选择排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class TestSelection {

    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {4, 6, 8, 7, 9, 10, 2, 1};
        Insertion.sort(arr);

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

时间复杂度分析：

选择排序使用了双层for循环，其中外层循环完成了数据交换，内层循完成了数据比较，所以我们分别统计数据交换次数和数据比较次数:

数据比较次数:

(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=NA2/2-N/2；

数据交换次数 :

N-1

时间复杂度:N^2/2-N/2+( N-1) = N^2/2+N/2-1；

根据大O推导法则，保留最高阶项，去除常数因子，时间复杂度为O(N^2);

1.3插入排序（Insertion sort）

插入排序(Insertion sort)是一种简单直观且稳定的排序算法。

插入排序的工作方式非常像人们排序一手扑克牌一样。开始时，我们的左手为空并且桌子上的牌面朝下。然后，我们每次从桌子上拿走一张牌并将它插入左手中正确的位置。为了找到一张牌的正确位置，我们从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较。

排序原理：

  1. 把所有的元素分为两组，已经排序的和未排序的；
  2. 找到未排序的组中的第一个元素，向已经排序的组中进行插入；
  3. 倒叙遍历已经排序的元素，依次和待插入的元素进行比较，直到找到一个元素小于等于待插入元素，那么就把待插入元素放到这个位置，其他的元素向后移动一位;

在这里插入图片描述

排序API设计：

类名Insertion
构造方法Insertion （）：创建Insertion 对象
成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序
2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)：判断v是否大于w，从小到大排序
3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)：交换数组中i和j位置的元素

代码实现：

Insertion

package com.itcast.algorithm.sort;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/1
 * @Description: 插入排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class Insertion {

    /**
     * 对数组a中的元素进行排序
     *
     * @param a
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        // 从下标为1的元素开始，因为下标为0的元素默认有序
        for (int i = 1; i < a.length; i++) {
            // 从下标为i的元素开始，向前遍历，如果发现比它大的元素，则交换位置
            for (int j = i; j > 0; j--) {
                if (greater(a[j - 1], a[j])) {
                    exch(a, j - 1, j);
                } else {
                    break;
                }

            }
        }
    }

    /**
     * 比较v元素是否大于w元素
     */
    private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) > 0;
    }

    /**
     * 交换数组中的i和j两个元素
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }
}

TestInsertion

package com.itcast.algorithm.test;

import com.itcast.algorithm.sort.Insertion;

import java.util.Arrays;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/1
 * @Description: 测试插入排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class TestInsertion {

    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {4, 3, 2, 10, 12, 1, 5, 6};
        Insertion.sort(arr);

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

时间复杂度分析：

插入排序使用了双层for循环，其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码，所以，我们分析插入排序的时间复杂度，主要分析一下内层循环体的执行次数即可。

最坏情况，也就是待排序的数组元素为[12,10,6,5,4,3,2,1}，那么:

比较的次数为 :

(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;

交换的次数为：

(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2:

总执行次数为：

(N^2/2-N/2)+(N ^2/2-N/2)=N ^2-N;

按照大O推导法则，保留函数中的最高阶项那么最终插入排序的时间复杂度为O(N^2).

二、高级排序

之前我们学习过基础排序，包括冒泡排序，选择排序还有插入排序，并且对他们在最坏情况下的时间复杂度做了分析，发现都是O(N^2)，而平方阶通过我们之前学习算法分析我们知道，随着输入规模的增大，时间成本将急剧上升，所以这些基本排序方法不能处理更大规模的问题，接下来我们学习一些高级的排序算法，争取降低算法的时间复杂度最高阶次幂。

2.1希尔排序（Shell Sort）

希尔排序是插入排序的一种，又称”缩小增量排序”，是插入排序算法的一种更高效的改进版本。

前面学习插入排序的时候，我们会发现一个很不友好的事儿，如果已排序的分组元素为{2,5,7,9,10}，未排序的分组元素为{1,8}，那么下一个待插入元素为1，我们需要拿着1从后往前，依次和10,9,7,5,2进行交换位置，才能完成真正的插入，每次交换只能和相邻的元素交换位置。那如果我们要提高效率，直观的想法就是一次交换，能把1放到更前面的位置，比如一次交换就能把1插到2和5之间，这样一次交换1就向前走了5个位置，可以减少交换的次数，这样的需求如何实现呢 ? 接下来我们来看看希尔排序的原理。

排序原理：

  1. 选定一个增长量h，按照增长量h作为数据分组的依据，对数据进行分组；
  2. 对分好组的每一组数据完成插入排序；
  3. 减小增长量，最小减为1，重复第二步操作。

在这里插入图片描述

排序API设计：

类名Shell
构造方法Shell（）：创建Shell对象
成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序
2. private static boolean greater(Comparable v, Comparable w)：判断v是否大于w，从小到大排序
3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)：交换数组中i和j位置的元素

代码实现：

Shell

package com.itcast.algorithm.sort;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/1
 * @Description: 希尔排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class Shell {

    /**
     * 对数组a中的元素进行排序
     *
     * @param a
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {

        // 1. 根据数组a的长度，确定增长量h的初始值
        int h = 1;
        while (h < a.length / 2) {
            h = 2 * h + 1;
        }
        // 希尔排序
        while (h >= 1) {
            // 排序
            // 2.1 找到待插入的元素
            for (int i = h; i < a.length; i++) {
                // 2.2 把待插入的元素插入到有序数列中
                for (int j = i; j >= h; j -= h) {
                    if (greater(a[j - h], a[j])) {
                        exch(a, j - h, j);
                    } else {
                        break;
                    }
                }

            }

            // 减小h的值
            h = h / 2;
        }
    }

    /**
     * 比较v元素是否大于w元素
     */
    private static boolean greater(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) > 0;
    }

    /**
     * 交换数组中的i和j两个元素
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }
}

TestShell

package com.itcast.algorithm.test;

import com.itcast.algorithm.sort.Shell;

import java.util.Arrays;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/1
 * @Description: 测试希尔排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class TestShell {

    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {9, 1, 2, 5, 7, 4, 8, 6, 3, 5};
        Shell.sort(arr);

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

时间复杂度分析：

在希尔排序中，增长量h并没有固定的规则，有很多论文研究了各种不同的递增序列，但都无法证明某个序列是最好的，对于希尔排序的时间复杂度分析，在这里就不做分析了。

2.2归并排序（Merge Sort）

归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列，即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。

排序原理：

  1. 尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是1为止。
  2. 将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组 ；
  3. 不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止。
    在这里插入图片描述

排序API设计：

类名Merge
构造方法Merge（）：创建Merge对象
成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序
2. private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)：对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序
3. private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi)：对数组a中，从lo到hi为一组，从mid+1到hi为一组进行归并
4. private static boolean less(Comparable v, Comparable w)：比较v元素是否小于w元素
成员变量1. private static Comparable[] assist：完成归并操作需要的辅助数组

代码实现：

Merge

package com.itcast.algorithm.sort;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/2
 * @Description: 归并排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class Merge {

    // 归并所需要的辅助数组
    private static Comparable[] assist;

    /**
     * 比较v元素是否小于w元素
     */
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) < 0;
    }


    /**
     * 对数组a中的元素进行排序
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        // 1.初始化辅助数组
        assist = new Comparable[a.length];
        // 2.定义一个lo变量和hi变量，分别记录数组中最小的索引和最大的索引
        int lo = 0;
        int hi = a.length - 1;
        // 3.调用sort重载方法完成数组a中，从索引lo到索引hi的元素的排序
        sort(a, lo, hi);
    }

    /**
     * 对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序
     */
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        // 安全性校验
        if (hi <= lo) {
            return;
        }

        // 对lo到hi之间的数据进行分组
        int mid = lo + (hi - lo) / 2;

        // 分别对每一组数据进行排序
        sort(a, lo, mid);
        sort(a, mid + 1, hi);

        // 再把两个组中的数据进行归并
        merge(a, lo, mid, hi);

    }

    /**
     * 对数组a中，从lo到hi为一组，从mid+1到hi为一组进行归并
     */
    private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
        // 定义三个指针
        int p1 = lo;
        int p2 = mid + 1;
        int p3 = lo; // 记录辅助数组中的索引

        // 遍历，移动p1指针和p2指针，比较对应索引处的值，将较小的值放入辅助数组中
        while (p1 <= mid && p2 <= hi) {
            if (less(a[p1], a[p2])) {
                assist[p3++] = a[p1++];
            } else {
                assist[p3++] = a[p2++];
            }
        }

        // 如果p1的指针没有走完，那么顺序移动p1指针，把对应的元素放到辅助数组中
        while (p1 <= mid) {
            assist[p3++] = a[p1++];
        }

        // 如果p2的指针没有走完，那么顺序移动p1指针，把对应的元素放到辅助数组中
        while (p2 <= hi) {
            assist[p3++] = a[p2++];
        }

        // 把辅助数组中的元素拷贝到原数组中
        for (int i = lo; i <= hi; i++) {
            a[i] = assist[i];
        }

    }
}

TestMerge

package com.itcast.algorithm.test;

import com.itcast.algorithm.sort.Merge;

import java.util.Arrays;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/2
 * @Description: 测试归并排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class TestMerge {

    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {8,4,5,7,1,3,6,2};
        Merge.sort(arr);

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

时间复杂度分析：

归并排序是分治思想的最典型的例子，上面的算法中，对a[lo…hi]进行排序，先将它分为a[lo…mid]和a[mid+1…hi]两部分，分别通过递归调用将他们单独排序，最后将有序的子数组归并为最终的排序结果。该递归的出口在于如果一个数组不能再被分为两个子数组那么就会执行merge进行归并，在归并的时候判断元素的大小进行排序。
在这里插入图片描述
用树状图来描述归并，如果一个数组有8个元素，那么它将每次除以2找最小的子数组，共拆log8次，值为3，所以树共有3层,那么自顶向下第k层有2^K个子数组，每个数组的长度为2 ^(3-K)，归并最多需要2 ^(3-K)次比较。因此每层的比较次数为 2^k * 2^(3-k)=2N3,那么3层总共为 3*2^3。

假设元素的个数为n，那么使用归并排序拆分的次数为log2(n),所以共log2(n)层，那么使用log2(n)替换上面3* 2^3中的3这个层数，最终得出的归并排序的时间复杂度为 :log2(n)* 2^(log2(n))=log2(n)*n,根据大O推导法则，忽略底数，最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn)。

归并排序的缺点

需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以空间换时间的操作。

2.3快速排序（Quick Sort）

快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是:通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

排序原理：

  1. 首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分 ;
  2. 将大于或等于分界值的数据放到到数组右边，小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小于或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值;
  3. 然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
  4. 重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。当左侧和右侧两个部分的数据排完序后，整个数组的排序也就完成了。

在这里插入图片描述

排序API设计：

类名Quick
构造方法Quick（）：创建Quick对象
成员方法1. public static void sort(Comparable[] a):对数组a中的元素进行排序
2. private static boolean less(Comparable v, Comparable w)：判断v是否小于w，从小到大排序
3. private static void exch(Comparable[] a, int i, int j)：交换数组中i和j位置的元素
4. private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi)：对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序
5. private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi)：对数组a中，从索引lo到索引hi之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引

代码实现：

Quick

package com.itcast.algorithm.sort;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/2
 * @Description: 快速排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class Quick {

    /**
     * 比较v元素是否小于w元素
     */
    private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
        return v.compareTo(w) < 0;
    }

    /**
     * 数组元素i和j交换位置
     */
    private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
        Comparable t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }

    /**
     * 对数组a中的元素进行排序
     */
    public static void sort(Comparable[] a) {
        int lo = 0;
        int hi = a.length - 1;
        sort(a, lo, hi);
    }

    /**
     * 对数组a中从lo到hi之间的元素进行排序
     */
    private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        if (hi <= lo) {
            return;
        }
        int partition = partition(a, lo, hi); // 返回的是分界值变换后的索引

        // 让左子组有序
        sort(a, lo, partition - 1);
        // 让右子组有序
        sort(a, partition + 1, hi);
    }

    /**
     * 对数组a中，从索引lo到索引hi之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引
     */
    private static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
        // 确定分界值
        Comparable key = a[lo];
        // 定义两个指针，分别指向待切元素的最小索引处和 最大索引处的下一个位置
        int left = lo;
        int right = hi + 1;
        // 开始切分
        while (true) {
            // 从左往右扫描，找到第一个大于等于key的元素
            while (less(a[++left], key)) {
                if (left == hi) {
                    break;
                }
            }
            // 从右往左扫描，找到第一个小于key的元素
            while (less(key, a[--right])) {
                if (right == lo) {
                    break;
                }
            }
            // 如果left和right相遇，则退出循环
            if (left >= right) {
                break;
            } else {
                // 交换left和right指向的元素
                exch(a, left, right);
            }
        }
        // 交换分界值
        exch(a, lo, right);

        return right;
    }
}

TestQuick

package com.itcast.algorithm.test;

import com.itcast.algorithm.sort.Quick;

import java.util.Arrays;

/**
 * @Author: Juechen
 * @Date: 2024/5/3
 * @Description: 测试快速排序
 * @Version: 1.0
 **/
public class TestQuick {

    public static void main(String[] args) {
        Integer[] arr = {6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8};
        Quick.sort(arr);

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

快速排序和归并排序的区别

快速排序是另外一种分治的排序算法，它将一个数组分成两人子数组，将两部分独立的排序。快速排序和归并排序是互补的:归并排序将数组分成两个子数组分别排序，并将有序的子数组归并从而将整个数组排序，而快速排序的方式则是当两个数组都有序时，整数组自然就有序了。在归并排序中，一个数组被等分为两半，归并调用发生在处理整个数组之前，在快速排序中，切分数组的位置取决于数组的内容，递归调用发生在处理整个数组之后。

时间复杂度分析：

快速排序的一次切分从两头开始交替搜索，直到left和right重合，因此，一次切分算法的时间复杂度为O(n),但整个快速排序的时间复杂度和切分的次数相关。

最优情况 : 每一次切分选择的基准数字刚好将当前序列等分。

在这里插入图片描述
如果我们把数组的切分看做是一个树，那么上图就是它的最优情况的图示，共切分了logn次，所以，最优情况下快速排序的时间复杂度为O(nlogn);

最坏情况:每一次切分选择的基准数字是当前序列中最大数或者最小数，这使得每次切分都会有一人子组，那么总共就得切分n次，所以，最坏情况下，快速排序的时间复杂度为O(n^2);

在这里插入图片描述
平均情况：每一次切分选择的基准数字不是最大值和最小值，也不是中值，这种情况我们也可以用数学归纳法证明，快速排序的时间复杂度为0(nlogn),由于数学归纳法有很多数学相关的知识，容易使我们混乱，所以这里就不对平均情况的时间复杂度做证明了。

三、排序稳定性

稳定性的定义

数组arr中有若干元素，其中A元素和B元素相等，并且A元素在B元素前面，如果使用某种排序算法排序后，能够保证A元素依然在B元素的前面，可以说这个该算法是稳定的。
在这里插入图片描述

稳定性的意义

如果一组数据只需要一次排序，则稳定性一般是没有意义的，如果一组数据需要多次排序，稳定性是有意义的。例如要排序的内容是组商品对象，第一次排序按照价格由低到高排序，第二次排序按照销量由高到低排序，如果第二次排序使用稳定性算法，就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现，只有销量不同的对象才需要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义而且可以减少系统开销。

常见排序算法的稳定性

冒泡排序 :
只有当arr[i]>arr[i+1]的时候，才会交换元素的位置，而相等的时候并不交换位置，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。
选择排序:
选择排序是给每个位置选择当前元素最小的,例如有数据{5(1)，8, 5(2)，2，9},第一遍选择到的最小元素为2，所以5(1)会和2进行交换位置，此时5(1)到了5(2)后面，破坏了稳定性，所以选择排序是一种不稳定的排序算法。
插入排序:
比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么把要插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序是稳定的。
希尔排序 :
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序,虽然一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不稳定的。
归并排序:
归并排序在归并的过程中，只有arr[i]<arr[i+1]的时候才会交换位置，如果两个元素相等则不会交换位置，所以它并不会破坏稳定性，归并排序是稳定的。
快速排序：
快速排序需要一个基准值，在基准值的右侧找一个比基准值小的元素，在基准值的左侧找一个比基准值大的元素，然后交换这两个元素，此时会破坏稳定性，所以快速排序是一种不稳定的算法。

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