面试算法题精讲：最长公共子串

最长公共子串问题是指给定两个字符串S1和S2，求它们的公共子串中最长的那一个。其实就是求两个字符串的最长重复子串。

最朴素的算法就是枚举S1和S2的每一对子串，然后判断它们是否相等，时间复杂度是O(n^3)。但是这种算法效率太低，无法满足实际需求。

解法1：动态规划

代码：

int longestCommonSubstring(string s, string t)
{
	int n = s.size(), m = t.size();
	int maxLen = 0;
	//  dp[i][j]表示到s的位置i为止、到t的位置j为止、最长的公共子串长度
	vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
	// 状态转移
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			if (s[i - 1] == t[j - 1])
			{
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
				// 更新最长公共子串的长度
				maxLen = max(maxLen, dp[i][j]);
			}
			else 
				dp[i][j] = 0; // 不相等，最长公共子串的长度为 0
		}
	return maxLen;
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(nm)，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和 t 的长度。

空间复杂度：O(nm)，其中 m 和 n 分别是字符串 s 和 t 的长度。

实例：

进阶：求最长公共子串的内容

新增一个变量 end 记录最长公共子串在字符串 s 的终点位置，与 maxLen 一起更新即可。

代码：

string longestCommonSubstring(string s, string t)
{
	int n = s.size(), m = t.size();
	int end = 0, maxLen = 0;
	//  dp[i][j]表示到s的位置i为止、到t的位置j为止、最长的公共子串长度
	vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
	// 状态转移
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= m; j++)
		{
			if (s[i - 1] == t[j - 1])
			{
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
			}
			else
				dp[i][j] = 0; // 不相等，最长公共子串的长度为 0

			if (dp[i][j] > maxLen)
			{ // 更新最长公共子串的长度，和在字符串 s 的终点位置
				maxLen = max(maxLen, dp[i][j]);
				end = i;
			}
		}
	string lcs = s.substr(end - maxLen, maxLen);
	return lcs;
}