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文章目录
- 💧 fmincon函数说明
- 目标优化问题的基本形式
- fmincon语法和参数
- 💧 算例实战
- 初始解x0的设定
- 线性等式和不等式约束
- 非线性等式和不等式约束
- 含有求和公式目标函数
💧 fmincon函数说明
Matlab 的 fmincon 函数：寻找约束非线性多变量函数的最小值。
适用于：
- 线性函数
- 非线性函数
- 线性等式和不等式约束
- 非线性等式和不等式约束
目标优化问题的基本形式
min f ( x ) \min f(x) minf(x)
s . t . { A ⋅ x ≤ b A e q ⋅ x = B e q l b ≤ x ≤ u b c ( x ) ≤ 0 c e q ( x ) = 0 s.t. \begin{cases} A \cdot x \leq b \\ Aeq \cdot x = Beq \\ lb \leq x \leq ub \\ c(x) \leq 0 \\ ceq(x) = 0 \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧A⋅x≤bAeq⋅x=Beqlb≤x≤ubc(x)≤0ceq(x)=0
fmincon语法和参数
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
输入参数：
- fun ：目标函数，注意需要单引号，或者@，（即写为符号函数）
- x0：函数fun参数值的初始化；
- A, b：参数值的线性不等式约束（A * x <= b）
- Aeq, beq：参数值的等式线性约束 (Aeq * x = beq)
- lb, ub：参数值的下界和上界
- options：使用所指定的优化选项执行，options 可设置这些选项
- nonlcon：非线性约束，其参数值一般为约束函数。如果没有非线性不等式或等式约束，设置为 nonlcon = []
输出参数：
- x：输出最优参数值
- fval：输出 fun 在X参数的值
- exitflag： 输出fmincon额外条件值
- lambda ：结构体，其字段包含解 x 处的拉格朗日乘数。
- grad：fun 在解 x 处的梯度。
- hessian：fun 在解 x 处的黑塞矩阵。请参阅fmincon Hessian 矩阵。
💧 算例实战
算例都是比较简单的，希望大家好好理解，单元和多元区别不大，进阶的话重点是关于fmincon求解结果的分析，目标函数属于凸函数还是非凸，是否全局最优还是局部最优，还得考虑fmincon求解的约束容限等。
初始解x0的设定
初始解的设定也很重要，得结合你所选用的算法。下面我都是直接设定x0=rand(2,1)，大家可以尝试修改初始解，看看结果有什么不同。
线性等式和不等式约束
min f ( x ) = 3 ⋅ x 1 + 5 ⋅ x 2 \min f(x)=3 \cdot x_1 +5 \cdot x_2 minf(x)=3⋅x1+5⋅x2
s . t . { x 1 + 3 x 2 ≤ 20 2 x 1 + x 2 ≤ 30 x 1 + x 2 = 10 0 ≤ x 1 ≤ 10 3 ≤ x 2 ≤ 8 s.t. \begin{cases} x_1+3 x_2 \leq 20 \\ 2 x_1+x_2 \leq 30 \\ x_1+x_2 = 10 \\ 0 \leq x_1 \leq 10 \\ 3 \leq x_2 \leq 8 \\ \end{cases} s.t.⎩ ⎨ ⎧x1+3x2≤202x1+x2≤30x1+x2=100≤x1≤103≤x2≤8
将其与前面目标规划问题的基本形式对照即可，代码如下：
clc
clear
close all
fun=@(x) 3*x(1)+ 5*x(2);
x0=rand(1,2);
A=[1,3;2,1];
b=[20;30];
Aeq=[1,1];
beq=[10];
lb=[0,3];
ub=[10,8];
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
非线性等式和不等式约束
这里注意非线性部分得移项成标准形式，即非线性部分≤0和非线性部分=0的形式，下方换成上面形式得移向变号，大家看到负号别讶异。
min f ( x ) = 3 ⋅ x 1 2 + 5 ⋅ x 2 2 \min f(x)=3 \cdot x_1^2 +5 \cdot x_2^2 minf(x)=3⋅x12+5⋅x22
s
.
t
.
{
x
1
+
3
x
2
≤
20
2
x
1
+
x
2
≤
30
x
1
+
x
2
=
10
0
≤
x
1
≤
10
3
≤
x
2
≤
8
x
1
2
−
x
2
≥
0
x
1
−
x
2
2
+
1
=
0
s.t. \begin{cases} x_1+3 x_2 \leq 20 \\ 2 x_1+x_2 \leq 30 \\ x_1+x_2 = 10 \\ 0 \leq x_1 \leq 10 \\ 3 \leq x_2 \leq 8 \\ x_1^2-x_2 \geq 0 \\ x_1-x_2^2 + 1 = 0 \end{cases}
s.t.⎩
⎨
⎧x1+3x2≤202x1+x2≤30x1+x2=100≤x1≤103≤x2≤8x12−x2≥0x1−x22+1=0
主函数：
clc
clear
close all
fun=@(x) 3*x(1)^2+ 5*x(2)^2;
x0=rand(1,2);
A=[1,3;2,1];
b=[20;30];
Aeq=[1,1];
beq=[10];
lb=[0,3];
ub=[10,8];
[x,fval,exitflag]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,'mycon')
新建mycon.m函数
function [c,ceq]=mycon(x)
c=-x(1)^2+x(2);
ceq=-x(1)-x(2)^2+1;
含有求和公式目标函数
若目标函数含有求和公式，如何用代码表示呢？
min f ( x ) = ∑ i 50 ( x i − 1 ) 2 \min f(x)= \sum_i^{50}(x_i-1)^2 minf(x)=i∑50(xi−1)2
- 其中x为自变量，c为已知量
则我们的目标函数为
function f = fun(x)
f = 0;
for i=1:50
f = f + (x(i) - 1)^2
end
